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Theorem ptuni2 17287
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptuni2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y, k, z, A    g, F, k, x, y, z    g, V, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptuni2
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasid 17286 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
3 elssuni 3871 . . 3  |-  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  B  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  C_ 
U. B )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  C_  U. B )
5 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
6 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  ( F `  y )  ->  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y ) )
76ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  C_  U. ( F `  y )
)
8 ss2ixp 6845 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
U. ( F `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )
)
95, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ y  e.  A  U. ( F `
 y ) )
10 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
1110unieqd 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
1211cbvixpv 6850 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  U. ( F `  y )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
139, 12syl6sseq 3237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
14 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1514elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <->  x 
C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
16 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1715, 16syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) ) )
1813, 17syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
1918expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) ) )
2019exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
) )
2120abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
221, 21syl5eqss 3235 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
23 sspwuni 4003 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2422, 23sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
254, 24eqssd 3209 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  ptbasin2  17289  ptbasfi  17292  ptuni  17305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-top 16652
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