MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Unicode version

Theorem ptunimpt 17548
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
ptunimpt  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
21fvmpt2 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )  =  K )
32eqcomd 2392 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  K  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
43unieqd 3968 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  K  e.  Top )  ->  U. K  =  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
54ralimiaa 2723 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  A. x  e.  A  U. K  = 
U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `
 x ) )
7 ixpeq2 7012 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  U. K  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ x  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
9 nffvmpt1 5676 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
109nfuni 3963 . . . 4  |-  F/_ x U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y )
11 nfcv 2523 . . . 4  |-  F/_ y U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x )
12 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  K ) `  x ) )
1312unieqd 3968 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
) )
1410, 11, 13cbvixp 7015 . . 3  |-  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  X_ x  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  x
)
158, 14syl6eqr 2437 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
X_ y  e.  A  U. ( ( x  e.  A  |->  K ) `  y ) )
161fmpt 5829 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
17 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
1817ptuni 17547 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
1916, 18sylan2b 462 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ y  e.  A  U. (
( x  e.  A  |->  K ) `  y
)  =  U. J
)
2015, 19eqtrd 2419 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   U.cuni 3957    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394   X_cixp 6999   Xt_cpt 13593   Topctop 16881
This theorem is referenced by:  pttopon  17549  kelac1  26830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ixp 7000  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-top 16886  df-bases 16888
  Copyright terms: Public domain W3C validator