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Theorem ptval 17604
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptval.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptval  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pt 13670 . . 3  |-  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) ) )
3 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
43dmeqd 5074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
5 fndm 5546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
65ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  F  =  A )
74, 6eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
87fneq2d 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
g  Fn  dom  f  <->  g  Fn  A ) )
93fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
109eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
117, 10raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) ) )
127difeq1d 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( dom  f  \  z
)  =  ( A 
\  z ) )
139unieqd 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  U. (
f `  y )  =  U. ( F `  y ) )
1413eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  ( g `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1512, 14raleqbidv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
)  <->  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
1615rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )
178, 11, 163anbi123d 1255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e. 
dom  f ( g `
 y )  e.  ( f `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
187ixpeq1d 7076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
1918eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  <->  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2017, 19anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( g  Fn 
dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e. 
dom  f ( g `
 y ) )  <-> 
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2120exbidv 1637 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2221abbidv 2552 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
23 ptval.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2422, 23syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  B )
2524fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( topGen `
 { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } )  =  ( topGen `  B ) )
26 fnex 5963 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2726ancoms 441 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  F  e.  _V )
28 fvex 5744 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
2928a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
302, 25, 27, 29fvmptd 5812 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   ` cfv 5456   X_cixp 7065   Fincfn 7111   topGenctg 13667   Xt_cpt 13668
This theorem is referenced by:  pttop  17616  ptopn  17617  ptuni  17628  ptval2  17635  ptpjcn  17645  ptpjopn  17646  ptclsg  17649  ptcnp  17656  prdstopn  17662  xkoptsub  17688  ptcmplem1  18085  tmdgsum2  18128  prdsxmslem2  18561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ixp 7066  df-pt 13670
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