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Theorem ptval 17281
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptval.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptval  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pt 13361 . . 3  |-  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  Xt_  =  ( f  e.  _V  |->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } ) ) )
3 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
43dmeqd 4897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
5 fndm 5359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
65ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  F  =  A )
74, 6eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
87fneq2d 5352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
g  Fn  dom  f  <->  g  Fn  A ) )
93fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
109eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
117, 10raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y ) ) )
127difeq1d 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( dom  f  \  z
)  =  ( A 
\  z ) )
139unieqd 3854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  U. (
f `  y )  =  U. ( F `  y ) )
1413eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  ( g `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1512, 14raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
)  <->  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
1615rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
f `  y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )
178, 11, 163anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e. 
dom  f ( g `
 y )  e.  ( f `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
18 ixpeq1 6843 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  =  A  ->  X_ y  e.  dom  f
( g `  y
)  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
197, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
2019eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `
 y )  <->  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2117, 20anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( g  Fn 
dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \ 
z ) ( g `
 y )  = 
U. ( f `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e. 
dom  f ( g `
 y ) )  <-> 
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2221exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f
( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z ) ( g `  y )  =  U. ( f `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
2322abbidv 2410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
24 ptval.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2523, 24syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) }  =  B )
2625fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A
)  /\  f  =  F )  ->  ( topGen `
 { x  |  E. g ( ( g  Fn  dom  f  /\  A. y  e.  dom  f ( g `  y )  e.  ( f `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( dom  f  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( f `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  dom  f ( g `  y ) ) } )  =  ( topGen `  B ) )
27 fnex 5757 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
2827ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  F  e.  _V )
29 fvex 5555 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
3029a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( topGen `  B )  e.  _V )
312, 26, 28, 30fvmptd 5622 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Fincfn 6879   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359
This theorem is referenced by:  pttop  17293  ptopn  17294  ptuni  17305  ptval2  17312  ptpjcn  17321  ptpjopn  17322  ptclsg  17325  ptcnp  17332  prdstopn  17338  xkoptsub  17364  ptcmplem1  17762  tmdgsum2  17795  prdsxmslem2  18091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ixp 6834  df-pt 13361
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