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Theorem ptval2 17664
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptval2.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptval2.2  |-  X  = 
U. J
ptval2.3  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
Assertion
Ref Expression
ptval2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, k, w, A    k, F, u, w    k, V, u, w    w, X
Allowed substitution hints:    G( w, u, k)    J( w, u, k)    X( u, k)

Proof of Theorem ptval2
Dummy variables  g  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5620 . . 3  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
2 ptval2.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
43ptval 17633 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
52, 4syl5eq 2486 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
61, 5sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
7 eqid 2442 . . . . 5  |-  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
83, 7ptbasfi 17644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
92ptuni 17657 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. J
)
10 ptval2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
119, 10syl6eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
1211sneqd 3851 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { X_ n  e.  A  U. ( F `
 n ) }  =  { X }
)
13113ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `
 n )  =  X )
1413mpteq1d 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1514cnveqd 5077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1615imaeq1d 5231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
1716mpt2eq3dva 6167 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
18 ptval2.3 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1917, 18syl6eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  G )
2019rneqd 5126 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )  =  ran  G )
2112, 20uneq12d 3488 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) ) )  =  ( { X }  u.  ran  G ) )
2221fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
238, 22eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
2423fveq2d 5761 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
256, 24eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   A.wral 2711   E.wrex 2712    \ cdif 3303    u. cun 3304   {csn 3838   U.cuni 4039    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   ran crn 4908   "cima 4910    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483    e. cmpt2 6112   X_cixp 7092   Fincfn 7138   ficfi 7444   topGenctg 13696   Xt_cpt 13697   Topctop 16989
This theorem is referenced by:  ptrescn  17702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin 7142  df-fi 7445  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-top 16994  df-bases 16996
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