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Theorem ptval2 17590
Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptval2.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptval2.2  |-  X  = 
U. J
ptval2.3  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
Assertion
Ref Expression
ptval2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, k, w, A    k, F, u, w    k, V, u, w    w, X
Allowed substitution hints:    G( w, u, k)    J( w, u, k)    X( u, k)

Proof of Theorem ptval2
Dummy variables  g  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5554 . . 3  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
2 ptval2.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
3 eqid 2408 . . . . 5  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
43ptval 17559 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
52, 4syl5eq 2452 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
61, 5sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
7 eqid 2408 . . . . 5  |-  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
83, 7ptbasfi 17570 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
92ptuni 17583 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. J
)
10 ptval2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
119, 10syl6eqr 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
1211sneqd 3791 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { X_ n  e.  A  U. ( F `
 n ) }  =  { X }
)
13113ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `
 n )  =  X )
1413mpteq1d 4254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1514cnveqd 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) )
1615imaeq1d 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k )
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
1716mpt2eq3dva 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
18 ptval2.3 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1917, 18syl6eqr 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  G )
2019rneqd 5060 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )  =  ran  G )
2112, 20uneq12d 3466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) ) )  =  ( { X }  u.  ran  G ) )
2221fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
238, 22eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) )
2423fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
256, 24eqtrd 2440 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ran  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670   E.wrex 2671    \ cdif 3281    u. cun 3282   {csn 3778   U.cuni 3979    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   ran crn 4842   "cima 4844    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417    e. cmpt2 6046   X_cixp 7026   Fincfn 7072   ficfi 7377   topGenctg 13624   Xt_cpt 13625   Topctop 16917
This theorem is referenced by:  ptrescn  17628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-fin 7076  df-fi 7378  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-top 16922  df-bases 16924
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