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Theorem pw2f1ocnv 26801
Description: Define a bijection between characteristic functions and subsets. EDITORIAL: extracted from pw2en 7153, which can be easily reproved in terms of this. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pw2f1o2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pw2f1ocnv  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem pw2f1ocnv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o2.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
2 vex 2904 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32cnvex 5348 . . 3  |-  `' x  e.  _V
4 imaexg 5159 . . 3  |-  ( `' x  e.  _V  ->  ( `' x " { 1o } )  e.  _V )
53, 4mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' x " { 1o } )  e. 
_V )
6 mptexg 5906 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
76adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
8 2on 6670 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
9 elmapg 6969 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
x : A --> 2o ) )
108, 9mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  x : A
--> 2o ) )
1110anbi1d 686 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) ) )
12 1on 6669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  On
1312elexi 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1413sucid 4603 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
15 df-2o 6663 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  suc  1o
1614, 15eleqtrri 2462 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
17 0ex 4282 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
1817prid1 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
19 df2o2 6676 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
2018, 19eleqtrri 2462 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
2116, 20keepel 3741 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
2221rgenw 2718 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  A  if (
z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
23 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2423fmpt 5831 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o )
2522, 24mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o
26 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726feq1d 5522 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o ) )
2825, 27mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x : A
--> 2o )
2926fveq1d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
30 elequ1 1720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  w  e.  y ) )
3130ifbid 3702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3213, 17keepel 3741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  e. 
_V
3331, 23, 32fvmpt 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3429, 33sylan9eq 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3534eqeq1d 2397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
)
36 iftrue 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
37 noel 3577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  e.  (/)
38 iffalse 3691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
3938eqeq1d 2397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
40 0lt1o 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  1o
41 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  1o  ->  ( (/)  e.  (/)  <->  (/)  e.  1o ) )
4240, 41mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  1o  ->  (/)  e.  (/) )
4339, 42syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o 
->  (/)  e.  (/) ) )
4437, 43mtoi 171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  w  e.  y  ->  -.  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4544con4i 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  w  e.  y )
4636, 45impbii 181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  <->  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4735, 46syl6rbbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
48 fvex 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
4948elsnc 3782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x `  w )  e.  { 1o }  <->  ( x `  w )  =  1o )
5047, 49syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  e.  { 1o } ) )
5150pm5.32da 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( (
w  e.  A  /\  w  e.  y )  <->  ( w  e.  A  /\  ( x `  w
)  e.  { 1o } ) ) )
52 ssel 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
5352adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  A ) )
5453pm4.71rd 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  y ) ) )
55 ffn 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  x  Fn  A )
56 elpreima 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( x  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5728, 55, 563syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5851, 54, 573bitr4d 277 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
5958eqrdv 2387 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6028, 59jca 519 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
61 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
62 cnvimass 5166 . . . . . . . 8  |-  ( `' x " { 1o } )  C_  dom  x
63 fdm 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  dom  x  =  A )
6463adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  dom  x  =  A )
6562, 64syl5sseq 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  ( `' x " { 1o } )  C_  A
)
6661, 65eqsstrd 3327 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  C_  A )
67 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6867eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
6955adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  Fn  A )
70 fnbrfvb 5708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  Fn  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
7169, 70sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
72 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
7372eliniseg 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  On  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  w x 1o ) )
7412, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <-> 
w x 1o )
7571, 74syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
7668, 75bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
7776biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  1o )
7836adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7977, 78eqtr4d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
80 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
8180adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
82 df2o3 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8381, 82syl6eleq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  { (/) ,  1o } )
8448elpr 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  w )  e.  { (/) ,  1o } 
<->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8583, 84sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8685ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  ( x `  w )  =  1o ) )
8786, 76sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  w  e.  y ) )
8887con1d 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  e.  y  ->  ( x `  w )  =  (/) ) )
8988imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  (/) )
9038adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
9189, 90eqtr4d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9279, 91pm2.61dan 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9333adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9492, 93eqtr4d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
9594ralrimiva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
96 ffn 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A )
9725, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
98 eqfnfv 5768 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  Fn  A  /\  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
)  ->  ( x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
9969, 97, 98sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
10095, 99mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
10166, 100jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
10260, 101impbii 181 . . . 4  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
10311, 102syl6bbr 255 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
104 vex 2904 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
105104elpw 3750 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
106105anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
107103, 106syl6bbr 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
1081, 5, 7, 107f1ocnvd 6234 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ifcif 3684   ~Pcpw 3744   {csn 3759   {cpr 3760   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   Oncon0 4524   suc csuc 4526   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   "cima 4823    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1oc1o 6655   2oc2o 6656    ^m cmap 6956
This theorem is referenced by:  pw2f1o2  26802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-suc 4530  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1o 6662  df-2o 6663  df-map 6958
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