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Theorem pw2f1ocnv 27099
Description: Define a bijection between characteristic functions and subsets. EDITORIAL: extracted from pw2en 7207, which can be easily reproved in terms of this. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pw2f1o2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pw2f1ocnv  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem pw2f1ocnv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o2.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
2 vex 2951 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32cnvex 5398 . . 3  |-  `' x  e.  _V
4 imaexg 5209 . . 3  |-  ( `' x  e.  _V  ->  ( `' x " { 1o } )  e.  _V )
53, 4mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' x " { 1o } )  e. 
_V )
6 mptexg 5957 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
76adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ~P A
)  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V )
8 2on 6724 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
9 elmapg 7023 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  <-> 
x : A --> 2o ) )
108, 9mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  x : A
--> 2o ) )
1110anbi1d 686 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) ) )
12 1on 6723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  On
1312elexi 2957 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1413sucid 4652 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  suc  1o
15 df-2o 6717 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  suc  1o
1614, 15eleqtrri 2508 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
17 0ex 4331 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
1817prid1 3904 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
19 df2o2 6730 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
2018, 19eleqtrri 2508 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
2116, 20keepel 3788 . . . . . . . . 9  |-  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
2221rgenw 2765 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  A  if (
z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2423fmpt 5882 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  e.  2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o )
2522, 24mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o
26 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726feq1d 5572 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o ) )
2825, 27mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  x : A
--> 2o )
2926fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
30 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  w  e.  y ) )
3130ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3213, 17keepel 3788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  e. 
_V
3331, 23, 32fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3429, 33sylan9eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
3534eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
)
36 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
37 noel 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  e.  (/)
38 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  y  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
3938eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
40 0lt1o 6740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  1o
41 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  1o  ->  ( (/)  e.  (/)  <->  (/)  e.  1o ) )
4240, 41mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  1o  ->  (/)  e.  (/) )
4339, 42syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  w  e.  y  -> 
( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o 
->  (/)  e.  (/) ) )
4437, 43mtoi 171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  w  e.  y  ->  -.  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4544con4i 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  w  e.  y )
4636, 45impbii 181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  <->  if (
w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
4735, 46syl6rbbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
48 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
4948elsnc 3829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x `  w )  e.  { 1o }  <->  ( x `  w )  =  1o )
5047, 49syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  e.  { 1o } ) )
5150pm5.32da 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( (
w  e.  A  /\  w  e.  y )  <->  ( w  e.  A  /\  ( x `  w
)  e.  { 1o } ) ) )
52 ssel 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
5352adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  A ) )
5453pm4.71rd 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  y ) ) )
55 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  x  Fn  A )
56 elpreima 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( x  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5728, 55, 563syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  ( w  e.  A  /\  (
x `  w )  e.  { 1o } ) ) )
5851, 54, 573bitr4d 277 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  y  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
5958eqrdv 2433 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6028, 59jca 519 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  ->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
61 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
62 cnvimass 5216 . . . . . . . 8  |-  ( `' x " { 1o } )  C_  dom  x
63 fdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A --> 2o  ->  dom  x  =  A )
6463adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  dom  x  =  A )
6562, 64syl5sseq 3388 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  ( `' x " { 1o } )  C_  A
)
6661, 65eqsstrd 3374 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  y  C_  A )
67 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  y  =  ( `' x " { 1o } ) )
6867eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
6955adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  Fn  A )
70 fnbrfvb 5759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  Fn  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
7169, 70sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w x 1o ) )
72 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
7372eliniseg 5225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  On  ->  (
w  e.  ( `' x " { 1o } )  <->  w x 1o ) )
7412, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( `' x " { 1o } )  <-> 
w x 1o )
7571, 74syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  1o  <->  w  e.  ( `' x " { 1o } ) ) )
7668, 75bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  y  <-> 
( x `  w
)  =  1o ) )
7776biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  1o )
7836adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7977, 78eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  w  e.  y )  ->  (
x `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
80 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
8180adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  2o )
82 df2o3 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8381, 82syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  e.  { (/) ,  1o } )
8448elpr 3824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x `  w )  e.  { (/) ,  1o } 
<->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8583, 84sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x `  w )  =  (/)  \/  ( x `  w
)  =  1o ) )
8685ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  ( x `  w )  =  1o ) )
8786, 76sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x `
 w )  =  (/)  ->  w  e.  y ) )
8887con1d 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  e.  y  ->  ( x `  w )  =  (/) ) )
8988imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  (/) )
9038adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
9189, 90eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  /\  -.  w  e.  y )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9279, 91pm2.61dan 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9333adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w )  =  if ( w  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
9492, 93eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
9594ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) )
96 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) : A --> 2o  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A )
9725, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
98 eqfnfv 5819 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  Fn  A  /\  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  Fn  A
)  ->  ( x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w )  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
9969, 97, 98sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  <->  A. w  e.  A  ( x `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) `  w
) ) )
10095, 99mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
10166, 100jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o }
) )  ->  (
y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
10260, 101impbii 181 . . . 4  |-  ( ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( x : A --> 2o  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) ) )
10311, 102syl6bbr 255 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
104 vex 2951 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
105104elpw 3797 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
106105anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P A  /\  x  =  (
z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  <->  ( y  C_  A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
107103, 106syl6bbr 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  y  =  ( `' x " { 1o } ) )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  x  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
1081, 5, 7, 107f1ocnvd 6285 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A  /\  `' F  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   suc csuc 4575   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   2oc2o 6710    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  pw2f1o2  27100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1o 6716  df-2o 6717  df-map 7012
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