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Theorem pw2f1olem 6982
Description: Lemma for pw2f1o 6983. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2f1o.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pw2f1o.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
pw2f1o.3  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
pw2f1o.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
pw2f1olem  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C }
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    z, S
Allowed substitution hints:    ph( z)    G( z)    V( z)    W( z)

Proof of Theorem pw2f1olem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2f1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
2 prid2g 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  W  ->  C  e.  { B ,  C } )
31, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  { B ,  C } )
4 pw2f1o.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
5 prid1g 3745 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  { B ,  C } )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  { B ,  C } )
7 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  { B ,  C }  /\  B  e.  { B ,  C } )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
83, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C }
)
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
119, 10fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) : A --> { B ,  C } )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
) : A --> { B ,  C } )
13 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
1413feq1d 5395 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( G : A --> { B ,  C }  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) : A --> { B ,  C } ) )
1512, 14mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G : A
--> { B ,  C } )
16 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
17 pw2f1o.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  C )
19 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
2019neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  S  -> 
( if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =/=  C  <->  B  =/=  C ) )
2118, 20syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  x  e.  S  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =/=  C
) )
2221necon4bd 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  S ,  C ,  B )  =  C  ->  x  e.  S ) )
2316, 22impbid2 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  S  <->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  =  C ) )
24 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
2524fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
) `  x )
)
26 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  A )
27 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  { B ,  C }  /\  B  e.  { B ,  C } )  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
283, 6, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C }
)
2928adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )
30 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  S  <->  x  e.  S ) )
3130ifbid 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3231, 10fvmptg 5616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( x  e.  S ,  C ,  B )  e.  { B ,  C } )  ->  (
( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3326, 29, 32syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3425, 33eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  e.  S ,  C ,  B ) )
3534eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  C  <->  if (
x  e.  S ,  C ,  B )  =  C ) )
3623, 35bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  S  <->  ( G `  x )  =  C ) )
3736pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
38 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  S  C_  A
)
3938sseld 3192 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  A ) )
4039pm4.71rd 616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  S ) ) )
41 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> { B ,  C }  ->  G  Fn  A )
4215, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  G  Fn  A )
43 fniniseg 5662 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
4442, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  =  C ) ) )
4537, 40, 443bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( `' G " { C } ) ) )
4645eqrdv 2294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
4715, 46jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )  ->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )
48 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
49 cnvimass 5049 . . . . . 6  |-  ( `' G " { C } )  C_  dom  G
50 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( G : A --> { B ,  C }  ->  dom  G  =  A )
5150ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  dom  G  =  A )
5249, 51syl5sseq 3239 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( `' G " { C }
)  C_  A )
5348, 52eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  S  C_  A
)
5441ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  Fn  A )
55 dffn5 5584 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  <->  G  =  ( y  e.  A  |->  ( G `  y
) ) )
5654, 55sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  ( G `  y
) ) )
57 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  S  =  ( `' G " { C } ) )
5857eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  S  <->  y  e.  ( `' G " { C } ) ) )
59 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  A  ->  (
y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( y  e.  A  /\  ( G `  y )  =  C ) ) )
6054, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( y  e.  A  /\  ( G `  y )  =  C ) ) )
6160baibd 875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( `' G " { C } )  <->  ( G `  y )  =  C ) )
6258, 61bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  S  <->  ( G `  y )  =  C ) )
6362biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y )  =  C )
64 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
6564adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  C )
6663, 65eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
67 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G : A
--> { B ,  C } )
68 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : A --> { B ,  C }  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  e.  { B ,  C } )
6967, 68sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  e.  { B ,  C } )
70 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
7170elpr 3671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  y )  e.  { B ,  C }  <->  ( ( G `
 y )  =  B  \/  ( G `
 y )  =  C ) )
7269, 71sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  y
)  =  B  \/  ( G `  y )  =  C ) )
7372ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  ( G `  y
)  =  B  -> 
( G `  y
)  =  C ) )
7473, 62sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  ( G `  y
)  =  B  -> 
y  e.  S ) )
7574con1d 116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  S  ->  ( G `  y
)  =  B ) )
7675imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  =  B )
77 iffalse 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  S  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
7877adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )  =  B )
7976, 78eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
8066, 79pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
8180mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( G `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
8256, 81eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
8353, 82jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) )  ->  ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )
8447, 83impbida 805 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  A  /\  G  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) ) )
85 pw2f1o.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
86 elpw2g 4190 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  e.  ~P A  <->  S 
C_  A ) )
8785, 86syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ~P A 
<->  S  C_  A )
)
88 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  S  <->  y  e.  S ) )
8988ifbid 3596 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  e.  S ,  C ,  B )  =  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) )
9089cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B )
)  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B )
)
9190a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) )
9291eqeq2d 2307 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) )  <->  G  =  (
y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) )
9387, 92anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( S  C_  A  /\  G  =  (
y  e.  A  |->  if ( y  e.  S ,  C ,  B ) ) ) ) )
94 prex 4233 . . . 4  |-  { B ,  C }  e.  _V
95 elmapg 6801 . . . 4  |-  ( ( { B ,  C }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  <->  G : A
--> { B ,  C } ) )
9694, 85, 95sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  <->  G : A
--> { B ,  C } ) )
9796anbi1d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C } ) )  <->  ( G : A --> { B ,  C }  /\  S  =  ( `' G " { C } ) ) ) )
9884, 93, 973bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
~P A  /\  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  e.  S ,  C ,  B ) ) )  <-> 
( G  e.  ( { B ,  C }  ^m  A )  /\  S  =  ( `' G " { C }
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  pw2f1o  6983  sqff1o  20436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790
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