MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Unicode version

Theorem pwcdandom 8534
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 8532 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
2 df1o2 6728 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
32xpeq2i 4891 . . . . . 6  |-  ( A  X.  1o )  =  ( A  X.  { (/)
} )
4 reldom 7107 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 4911 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 0ex 4331 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
7 xpsneng 7185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  { (/) } )  ~~  A )
93, 8syl5eqbr 4237 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~~  A
)
109ensymd 7150 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  X.  1o ) )
11 omex 7590 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
12 ordom 4846 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 1onn 6874 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
14 ordelss 4589 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  1o  e.  om )  ->  1o  C_ 
om )
1512, 13, 14mp2an 654 . . . . . . 7  |-  1o  C_  om
16 ssdomg 7145 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( 1o  C_  om  ->  1o  ~<_  om ) )
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6  |-  1o  ~<_  om
18 domtr 7152 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  1o  ~<_  A )
1917, 18mpan 652 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  1o  ~<_  A )
20 xpdom2g 7196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  1o 
~<_  A )  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
215, 19, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )
22 endomtr 7157 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  ( A  X.  1o )  /\  ( A  X.  1o )  ~<_  ( A  X.  A ) )  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
2310, 21, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<_  ( A  X.  A ) )
24 cdadom2 8059 . . 3  |-  ( A  ~<_  ( A  X.  A
)  ->  ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
25 domtr 7152 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  ( A  +c  A
)  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) )
2625expcom 425 . . 3  |-  ( ( A  +c  A )  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) ) )
2723, 24, 263syl 19 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  A )  ->  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) ) ) )
281, 27mtod 170 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204   Ord word 4572   omcom 4837    X. cxp 4868  (class class class)co 6073   1oc1o 6709    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    +c ccda 8039
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  8535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-har 7518  df-cnf 7609  df-card 7818  df-cda 8040
  Copyright terms: Public domain W3C validator