Theorem pwen 4503

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87.

Hypothesis

Ref	Expression
pwen.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
pwen	|- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4372	. . 3 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3208	. 2 |- (A ~~ B -> A e. V)
3		breq1 2622	. . . 4 |- (x = A -> (x ~~ B <-> A ~~ B))
4		pweq 2403	. . . . 5 |- (x = A -> P~x = P~A)
5	4	breq1d 2629	. . . 4 |- (x = A -> (P~x ~~ P~B <-> P~A ~~ P~B))
6	3, 5	imbi12d 626	. . 3 |- (x = A -> ((x ~~ B -> P~x ~~ P~B) <-> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)))
7		2on 4139	. . . . . 6 |- 2o e. On
8		enrefg 4390	. . . . . 6 |- (2o e. On -> 2o ~~ 2o)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- 2o ~~ 2o
10	7	elisseti 1818	. . . . . 6 |- 2o e. V
11		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
12		pwen.1	. . . . . 6 |- B e. V
13	10, 10, 11, 12	mapen 4491	. . . . 5 |- ((2o ~~ 2o /\ x ~~ B) -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
14	9, 13	mpan 695	. . . 4 |- (x ~~ B -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
15		oprex 3983	. . . . . 6 |- (2o ^m x) e. V
16	11	pw2en 4446	. . . . . 6 |- P~x ~~ (2o ^m x)
17		enen1 4477	. . . . . 6 |- (((2o ^m x) e. V /\ P~x ~~ (2o ^m x)) -> (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B))
18	15, 16, 17	mp2an 697	. . . . 5 |- (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B)
19		oprex 3983	. . . . . 6 |- (2o ^m B) e. V
20	12	pw2en 4446	. . . . . 6 |- P~B ~~ (2o ^m B)
21		enen2 4478	. . . . . 6 |- (((2o ^m B) e. V /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B)))
22	19, 20, 21	mp2an 697	. . . . 5 |- ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
23	18, 22	bitr2 174	. . . 4 |- ((2o ^m x) ~~ (2o ^m B) <-> P~x ~~ P~B)
24	14, 23	sylib 198	. . 3 |- (x ~~ B -> P~x ~~ P~B)
25	6, 24	vtoclg 1847	. 2 |- (A e. V -> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B))
26	2, 25	mpcom 49	1 |- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  P~cpw 2401   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  (class class class)co 3963  2oc2o 4129   ^m cm 4322   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  pwfiOLD 4571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-2o 4134  df-er 4261  df-map 4324  df-en 4368

Copyright terms: Public domain