MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7151
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables  m  k  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6885 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3628 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3628 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3628 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4398 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3629 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3762 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6491 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2306 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6637 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7082 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7150 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 10 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4685 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 7034 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7080 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2662 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2796 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4564 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 203 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 7015 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6889 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 18 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7084 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 649 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 180 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  mapfi  7152  r1fin  7445  dfac12k  7773  pwsdompw  7830  ackbij1lem5  7850  ackbij1lem9  7854  ackbij1lem10  7855  ackbij1lem14  7859  ackbij1b  7865  isfin1-2  8011  isfin1-3  8012  domtriomlem  8068  dominf  8071  dominfac  8195  gchhar  8293  omina  8313  gchina  8321  hashpw  11388  hashbclem  11390  qshash  12285  ackbijnn  12286  incexclem  12295  incexc  12296  incexc2  12297  hashbccl  13050  lagsubg2  14678  lagsubg  14679  orbsta2  14768  sylow1lem3  14911  sylow1lem5  14913  sylow2alem2  14929  sylow2a  14930  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  sylow3lem6  14943  pgpfac1lem5  15314  discmp  17125  cmpfi  17135  dis1stc  17225  1stckgenlem  17248  ptcmpfi  17504  fiufl  17611  musum  20431  ballotth  23096  hasheuni  23453  coinfliplem  23679  erdszelem2  23723  unfinsef  25069  kelac2lem  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator