Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwfi2en Unicode version

Theorem pwfi2en 27261
Description: Finitely supported indicator functions are equinumerous to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwfi2en.s  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
pwfi2en  |-  ( A  e.  V  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, V
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem pwfi2en
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfi2en.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
31, 2pwfi2f1o 27260 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
4 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( 2o 
^m  A )  e. 
_V
54rabex 4165 . . . 4  |-  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  e.  _V
61, 5eqeltri 2353 . . 3  |-  S  e. 
_V
76f1oen 6882 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
83, 7syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  frlmpwfi  27262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-2o 6480  df-map 6774  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator