Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwfi2en Unicode version

Theorem pwfi2en 27364
Description: Finitely supported indicator functions are equinumerous to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwfi2en.s  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
pwfi2en  |-  ( A  e.  V  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, V
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem pwfi2en
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfi2en.s . . 3  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
31, 2pwfi2f1o 27363 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
4 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( 2o 
^m  A )  e. 
_V
54rabex 4181 . . . 4  |-  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  e.  _V
61, 5eqeltri 2366 . . 3  |-  S  e. 
_V
76f1oen 6898 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
83, 7syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  S  ~~  ( ~P A  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  frlmpwfi  27365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-2o 6496  df-map 6790  df-en 6880
  Copyright terms: Public domain W3C validator