Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwfi2f1o Unicode version

Theorem pwfi2f1o 26930
Description: The pw2f1o 7150 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfi2f1o.s  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
pwfi2f1o.f  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pwfi2f1o  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, S    x, V, y
Allowed substitution hints:    S( y)    F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
21pw2f1o2 26801 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A )
3 f1of1 5614 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
5 pwfi2f1o.s . . . 4  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
6 ssrab2 3372 . . . 4  |-  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  C_  ( 2o  ^m  A
)
75, 6eqsstri 3322 . . 3  |-  S  C_  ( 2o  ^m  A )
8 f1ores 5630 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -1-1-> ~P A  /\  S  C_  ( 2o 
^m  A ) )  ->  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
94, 7, 8sylancl 644 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
10 elmapi 6975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  y : A --> 2o )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
y : A --> 2o )
12 fsuppeq 26929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : A --> 2o  ->  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  =  ( `' y " ( 2o 
\  { (/) } ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' y "
( 2o  \  { (/)
} ) ) )
14 df-2o 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  suc  1o
15 df-suc 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  suc  1o  =  ( 1o  u.  { 1o } )
1615equncomi 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  1o  =  ( { 1o }  u.  1o )
1714, 16eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  ( { 1o }  u.  1o )
18 df1o2 6673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
1918eqcomi 2392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  =  1o
2017, 19difeq12i 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )
21 difun2 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  ( { 1o }  \  1o )
22 incom 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  ( 1o  i^i  { 1o } )
23 1on 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1o  e.  On
2423onordi 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  1o
25 orddisj 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
1o  ->  ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o 
i^i  { 1o } )  =  (/)
2722, 26eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)
28 disj3 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)  <->  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o ) )
2927, 28mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o )
3021, 29eqtr4i 2411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  { 1o }
3120, 30eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
3231imaeq2i 5142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " ( 2o 
\  { (/) } ) )  =  ( `' y " { 1o } )
3313, 32syl6eq 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' y " { 1o } ) )
3433eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' y " { 1o }
)  e.  Fin )
)
35 cnvimass 5165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " { 1o } )  C_  dom  y
36 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : A --> 2o  ->  dom  y  =  A )
3711, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  ->  dom  y  =  A
)
3835, 37syl5sseq 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y " { 1o } )  C_  A )
3938biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" { 1o }
)  e.  Fin  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
4034, 39bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
41 elfpw 7344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' y " { 1o } )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' y
" { 1o }
)  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e.  Fin ) )
4240, 41syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' y " { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
4342rabbidva 2891 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) } )
44 cnveq 4987 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  `' x  =  `' y
)
4544imaeq1d 5143 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( `' x " { 1o } )  =  ( `' y " { 1o } ) )
4645cbvmptv 4242 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( y  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' y " { 1o } ) )
4746mptpreima 5304 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) )  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) }
4843, 5, 473eqtr4g 2445 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  S  =  ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )
4948imaeq2d 5144 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) ) ) )
50 f1ofo 5622 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
512, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
52 inss1 3505 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
53 foimacnv 5633 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -onto-> ~P A  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  C_  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5451, 52, 53sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5549, 54eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
56 f1oeq3 5608 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  <->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
5755, 56syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
58 resmpt 5132 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( 2o  ^m  A )  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) )
597, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
60 pwfi2f1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
6159, 60eqtr4i 2411 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F
62 f1oeq1 5606 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F  ->  ( ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
6361, 62mp1i 12 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
6457, 63bitrd 245 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
659, 64mpbid 202 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   {csn 3758    e. cmpt 4208   Ord word 4522   suc csuc 4525   `'ccnv 4818   dom cdm 4819    |` cres 4821   "cima 4822   -->wf 5391   -1-1->wf1 5392   -onto->wfo 5393   -1-1-onto->wf1o 5394  (class class class)co 6021   1oc1o 6654   2oc2o 6655    ^m cmap 6955   Fincfn 7046
This theorem is referenced by:  pwfi2en  26931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-1o 6661  df-2o 6662  df-map 6957
  Copyright terms: Public domain W3C validator