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Theorem pwfi2f1o 27363
Description: The pw2f1o 6983 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfi2f1o.s  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
pwfi2f1o.f  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pwfi2f1o  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, S    x, V, y
Allowed substitution hints:    S( y)    F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
21pw2f1o2 27234 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A )
3 f1of1 5487 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
5 pwfi2f1o.s . . . 4  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }
6 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  C_  ( 2o  ^m  A
)
75, 6eqsstri 3221 . . 3  |-  S  C_  ( 2o  ^m  A )
8 f1ores 5503 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -1-1-> ~P A  /\  S  C_  ( 2o 
^m  A ) )  ->  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
94, 7, 8sylancl 643 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
10 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  y : A --> 2o )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
y : A --> 2o )
12 fsuppeq 27362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : A --> 2o  ->  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  =  ( `' y " ( 2o 
\  { (/) } ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' y "
( 2o  \  { (/)
} ) ) )
14 df-2o 6496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  suc  1o
15 df-suc 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  suc  1o  =  ( 1o  u.  { 1o } )
1615equncomi 3334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  1o  =  ( { 1o }  u.  1o )
1714, 16eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  ( { 1o }  u.  1o )
18 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
1918eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  =  1o
2017, 19difeq12i 3305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )
21 difun2 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  ( { 1o }  \  1o )
22 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  ( 1o  i^i  { 1o } )
23 1on 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1o  e.  On
2423onordi 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  1o
25 orddisj 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
1o  ->  ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o 
i^i  { 1o } )  =  (/)
2722, 26eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)
28 disj3 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)  <->  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o ) )
2927, 28mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o )
3021, 29eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  { 1o }
3120, 30eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
3231imaeq2i 5026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " ( 2o 
\  { (/) } ) )  =  ( `' y " { 1o } )
3313, 32syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' y " { 1o } ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' y " { 1o }
)  e.  Fin )
)
35 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " { 1o } )  C_  dom  y
36 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : A --> 2o  ->  dom  y  =  A )
3711, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  ->  dom  y  =  A
)
3835, 37syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y " { 1o } )  C_  A )
3938biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" { 1o }
)  e.  Fin  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
4034, 39bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
41 elfpw 7173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' y " { 1o } )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' y
" { 1o }
)  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e.  Fin ) )
4240, 41syl6bbr 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' y " { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
4342rabbidva 2792 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) } )
44 cnveq 4871 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  `' x  =  `' y
)
4544imaeq1d 5027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( `' x " { 1o } )  =  ( `' y " { 1o } ) )
4645cbvmptv 4127 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( y  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' y " { 1o } ) )
4746mptpreima 5182 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) )  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) }
4843, 5, 473eqtr4g 2353 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  S  =  ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )
4948imaeq2d 5028 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) ) ) )
50 f1ofo 5495 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
512, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
52 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
53 foimacnv 5506 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -onto-> ~P A  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  C_  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5451, 52, 53sylancl 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5549, 54eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
56 f1oeq3 5481 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  <->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
5755, 56syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
58 resmpt 5016 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( 2o  ^m  A )  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) )
597, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
60 pwfi2f1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
6159, 60eqtr4i 2319 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F
62 f1oeq1 5479 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F  ->  ( ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
6361, 62mp1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
6457, 63bitrd 244 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
659, 64mpbid 201 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653    e. cmpt 4093   Ord word 4407   suc csuc 4410   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^m cmap 6788   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  pwfi2en  27364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-2o 6496  df-map 6790
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