Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfilem Structured version   Unicode version

Theorem pwfilem 7393
 Description: Lemma for pwfi 7394. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
pwfilem.1
Assertion
Ref Expression
pwfilem
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem pwfilem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwundif 4482 . 2
2 vex 2951 . . . . . . . . 9
3 snex 4397 . . . . . . . . 9
42, 3unex 4699 . . . . . . . 8
5 pwfilem.1 . . . . . . . 8
64, 5fnmpti 5565 . . . . . . 7
7 dffn4 5651 . . . . . . 7
86, 7mpbi 200 . . . . . 6
9 fodomfi 7377 . . . . . 6
108, 9mpan2 653 . . . . 5
11 domfi 7322 . . . . 5
1210, 11mpdan 650 . . . 4
13 eldifi 3461 . . . . . . . . 9
143elpwun 4748 . . . . . . . . 9
1513, 14sylib 189 . . . . . . . 8
16 undif1 3695 . . . . . . . . 9
17 elpwunsn 4749 . . . . . . . . . . 11
1817snssd 3935 . . . . . . . . . 10
19 ssequn2 3512 . . . . . . . . . 10
2018, 19sylib 189 . . . . . . . . 9
2116, 20syl5req 2480 . . . . . . . 8
22 uneq1 3486 . . . . . . . . . 10
2322eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9
2423rspcev 3044 . . . . . . . 8
2515, 21, 24syl2anc 643 . . . . . . 7
265, 4elrnmpti 5113 . . . . . . 7
2725, 26sylibr 204 . . . . . 6
2827ssriv 3344 . . . . 5
29 ssdomg 7145 . . . . 5
3012, 28, 29ee10 1385 . . . 4
31 domfi 7322 . . . 4
3212, 30, 31syl2anc 643 . . 3
33 unfi 7366 . . 3
3432, 33mpancom 651 . 2
351, 34syl5eqel 2519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   crn 4871   wfn 5441  wfo 5444   cdom 7099  cfn 7101 This theorem is referenced by:  pwfi  7394 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105
 Copyright terms: Public domain W3C validator