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Theorem pwfseqlem1 8280
Description: Lemma for pwfseq 8286. Derive a contradiction by diagonalization. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x    D, n    w, G    w, K    H, r, x    ph, n, r, x    ps, n    A, n, r, x
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    G( x, n, r)    H( w, n)    K( x, n, r)    X( x, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseqlem4.d . . 3  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2 pwfseqlem4.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4 f1f 5437 . . . . 5  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
6 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  x
7 pwfseqlem4.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
8 simprl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )  ->  x  C_  A )
97, 8sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  x  C_  A )
106, 9syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
11 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1211rabex 4165 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  _V
1312elpw 3631 . . . . 5  |-  ( { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
1410, 13sylibr 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )
15 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
165, 14, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
171, 16syl5eqel 2367 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
18 pm5.19 349 . . 3  |-  -.  (
( K `  D
)  e.  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
19 pwfseqlem4.k . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
2019adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) -1-1-> x )
21 f1f 5437 . . . . . . . 8  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) --> x )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) --> x )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) --> x  /\  D  e.  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )  -> 
( K `  D
)  e.  x )
2422, 23sylancom 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( K `  D )  e.  x
)
25 f1f1orn 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K )
2620, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
)
-1-1-onto-> ran  K )
27 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K  /\  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )  ->  ( `' K `  ( K `
 D ) )  =  D )
2826, 27sylancom 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  D )
29 f1fn 5438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G  Fn  ~P A
)
303, 29syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  ~P A
)
31 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ~P A  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
3230, 14, 31syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
331, 32syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ran  G
)
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  D  e.  ran  G )
3528, 34eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  e. 
ran  G )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' K `  y )  =  ( `' K `  ( K `  D
) ) )
3736eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( `' K `  y )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
) )
38 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  y  =  ( K `  D ) )
3936fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )
4038, 39eleq12d 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4140notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4237, 41anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )  <->  ( ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D
)  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( `' K `  w )  =  ( `' K `  y ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  y )  e.  ran  G ) )
45 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  w  =  y )
4643fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )
4745, 46eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4847notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4944, 48anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) )  <->  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) ) )
5049cbvrabv 2787 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  =  { y  e.  x  |  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) }
5142, 50elrab2 2925 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
52 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K `  D )  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
)  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
5351, 52bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( (
( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  /\  -.  ( K `
 D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5453baib 871 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  ->  ( ( K `
 D )  e. 
{ w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5524, 35, 54syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5628, 1syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
5756fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  ( `' G `  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
58 f1f1orn 5483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G
)
593, 58syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G )
60 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ~P A -1-1-onto-> ran  G  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( `' G `  ( G `
 { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6159, 14, 60syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6261adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6357, 62eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6463eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) )  <->  ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6564notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6655, 65bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6766ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )  ->  ( ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
6818, 67mtoi 169 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
69 eldif 3162 . 2  |-  ( D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  <->  ( D  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
7017, 68, 69sylanbrc 645 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    We wwe 4351   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  pwfseqlem3  8282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
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