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Theorem pwfseqlem1 8535
Description: Lemma for pwfseq 8541. Derive a contradiction by diagonalization. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x    D, n    w, G    w, K    H, r, x    ph, n, r, x    ps, n    A, n, r, x
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    G( x, n, r)    H( w, n)    K( x, n, r)    X( x, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseqlem4.d . . 3  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2 pwfseqlem4.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4 f1f 5641 . . . . 5  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
6 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  x
7 pwfseqlem4.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
8 simprl1 1003 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )  ->  x  C_  A )
97, 8sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  x  C_  A )
106, 9syl5ss 3361 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
11 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1211rabex 4356 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  _V
1312elpw 3807 . . . . 5  |-  ( { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
1410, 13sylibr 205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )
155, 14ffvelrnd 5873 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
161, 15syl5eqel 2522 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
17 pm5.19 351 . . 3  |-  -.  (
( K `  D
)  e.  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
18 pwfseqlem4.k . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
1918adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) -1-1-> x )
20 f1f 5641 . . . . . . . 8  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) --> x )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) --> x )
22 ffvelrn 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) --> x  /\  D  e.  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )  -> 
( K `  D
)  e.  x )
2321, 22sylancom 650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( K `  D )  e.  x
)
24 f1f1orn 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K )
2519, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
)
-1-1-onto-> ran  K )
26 f1ocnvfv1 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K  /\  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )  ->  ( `' K `  ( K `
 D ) )  =  D )
2725, 26sylancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  D )
28 f1fn 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G  Fn  ~P A
)
293, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  ~P A
)
30 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ~P A  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
3129, 14, 30syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
321, 31syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ran  G
)
3332adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  D  e.  ran  G )
3427, 33eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  e. 
ran  G )
35 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' K `  y )  =  ( `' K `  ( K `  D
) ) )
3635eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( `' K `  y )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
) )
37 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  y  =  ( K `  D ) )
3835fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )
3937, 38eleq12d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4039notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4136, 40anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )  <->  ( ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D
)  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
42 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( `' K `  w )  =  ( `' K `  y ) )
4342eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  y )  e.  ran  G ) )
44 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  w  =  y )
4542fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )
4644, 45eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4746notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4843, 47anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) )  <->  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) ) )
4948cbvrabv 2957 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  =  { y  e.  x  |  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) }
5041, 49elrab2 3096 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
51 anass 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K `  D )  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
)  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
5250, 51bitr4i 245 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( (
( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  /\  -.  ( K `
 D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5352baib 873 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  ->  ( ( K `
 D )  e. 
{ w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5423, 34, 53syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5527, 1syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
5655fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  ( `' G `  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
57 f1f1orn 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G
)
583, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G )
59 f1ocnvfv1 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ~P A -1-1-onto-> ran  G  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( `' G `  ( G `
 { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6058, 14, 59syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6160adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6256, 61eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6362eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) )  <->  ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6463notbid 287 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6554, 64bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6665ex 425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )  ->  ( ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
6717, 66mtoi 172 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
6816, 67eldifd 3333 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    We wwe 4542   omcom 4847    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   ran crn 4881    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020    ~<_ cdom 7109
This theorem is referenced by:  pwfseqlem3  8537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464
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