Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem3 Structured version   Unicode version

Theorem pwfseqlem3 8540
 Description: Lemma for pwfseq 8544. Using the construction from pwfseqlem1 8538, produce a function that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d
pwfseqlem4.f
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()   (,,)   (,,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4
2 vex 2961 . . . 4
3 fvex 5745 . . . . 5
4 fvex 5745 . . . . 5
53, 4ifex 3799 . . . 4
6 pwfseqlem4.f . . . . 5
76ovmpt4g 6199 . . . 4
81, 2, 5, 7mp3an 1280 . . 3
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8
109simprbi 452 . . . . . . 7
1110adantl 454 . . . . . 6
12 domnsym 7236 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 isfinite 7610 . . . . 5
1513, 14sylnibr 298 . . . 4
16 iffalse 3748 . . . 4
1715, 16syl 16 . . 3
188, 17syl5eq 2482 . 2
19 pwfseqlem4.g . . . . . . 7
20 pwfseqlem4.x . . . . . . 7
21 pwfseqlem4.h . . . . . . 7
22 pwfseqlem4.k . . . . . . 7
23 pwfseqlem4.d . . . . . . 7
2419, 20, 21, 9, 22, 23pwfseqlem1 8538 . . . . . 6
25 eldif 3332 . . . . . 6
2624, 25sylib 190 . . . . 5
2726simpld 447 . . . 4
28 eliun 4099 . . . 4
2927, 28sylib 190 . . 3
30 elmapi 7041 . . . . . 6
3130ad2antll 711 . . . . 5
32 ssiun2 4136 . . . . . . . . 9
3332ad2antrl 710 . . . . . . . 8
3426simprd 451 . . . . . . . . 9
3534adantr 453 . . . . . . . 8
3633, 35ssneldd 3353 . . . . . . 7
37 vex 2961 . . . . . . . . 9
381, 37elmap 7045 . . . . . . . 8
39 ffn 5594 . . . . . . . . 9
40 ffnfv 5897 . . . . . . . . . 10
4140baib 873 . . . . . . . . 9
4231, 39, 413syl 19 . . . . . . . 8
4338, 42syl5bb 250 . . . . . . 7
4436, 43mtbid 293 . . . . . 6
45 nnon 4854 . . . . . . . . 9
4645ad2antrl 710 . . . . . . . 8
47 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10
48 omsson 4852 . . . . . . . . . 10
4947, 48sstri 3359 . . . . . . . . 9
50 ordom 4857 . . . . . . . . . . . . 13
51 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13
52 ordelss 4600 . . . . . . . . . . . . 13
5350, 51, 52sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
54 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . . 13
5544, 54sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12
56 ssrexv 3410 . . . . . . . . . . . 12
5753, 55, 56sylc 59 . . . . . . . . . . 11
58 rabn0 3649 . . . . . . . . . . 11
5957, 58sylibr 205 . . . . . . . . . 10
60 onint 4778 . . . . . . . . . 10
6149, 59, 60sylancr 646 . . . . . . . . 9
6249, 61sseldi 3348 . . . . . . . 8
63 ontri1 4618 . . . . . . . 8
6446, 62, 63syl2anc 644 . . . . . . 7
65 ssintrab 4075 . . . . . . . 8
66 nnon 4854 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 ontri1 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6845, 66, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . 14
70 con34b 285 . . . . . . . . . . . . . 14
7169, 70syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . 13
7271pm5.74da 670 . . . . . . . . . . . 12
73 bi2.04 352 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11
75 elnn 4858 . . . . . . . . . . . . . 14
76 pm2.27 38 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7877expcom 426 . . . . . . . . . . . 12
7978a2d 25 . . . . . . . . . . 11
8074, 79sylbid 208 . . . . . . . . . 10
8180ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
8281ralimdv2 2788 . . . . . . . 8
8365, 82syl5bi 210 . . . . . . 7
8464, 83sylbird 228 . . . . . 6
8544, 84mt3d 120 . . . . 5
8631, 85ffvelrnd 5874 . . . 4
87 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
8887eleq1d 2504 . . . . . . . 8
8988notbid 287 . . . . . . 7
90 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
9190eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
9291notbid 287 . . . . . . . 8
9392cbvrabv 2957 . . . . . . 7
9489, 93elrab2 3096 . . . . . 6
9594simprbi 452 . . . . 5
9661, 95syl 16 . . . 4
9786, 96eldifd 3333 . . 3
9829, 97rexlimddv 2836 . 2
9918, 98eqeltrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  cif 3741  cpw 3801  cint 4052  ciun 4095   class class class wbr 4215   wwe 4543   word 4583  con0 4584  com 4848   cxp 4879  ccnv 4880   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  wf1 5454  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086   cmap 7021   cdom 7110   csdm 7111  cfn 7112  ccrd 7827 This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  8541  pwfseqlem4  8542 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116
 Copyright terms: Public domain W3C validator