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Theorem pwfseqlem3 8491
Description: Lemma for pwfseq 8495. Using the construction  D from pwfseqlem1 8489, produce a function  F that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
pwfseqlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x, z    D, n, z    w, G    w, K    H, r, x, z    ph, n, r, x, z    ps, n, z    A, n, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    F( x, z, w, n, r)    G( x, z, n, r)    H( w, n)    K( x, z, n, r)    X( x, z, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2919 . . . 4  |-  r  e. 
_V
3 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( H `
 ( card `  x
) )  e.  _V
4 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e. 
_V
53, 4ifex 3757 . . . 4  |-  if ( x  e.  Fin , 
( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
76ovmpt4g 6155 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  r  e.  _V  /\  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V )  ->  (
x F r )  =  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) ) )
81, 2, 5, 7mp3an 1279 . . 3  |-  ( x F r )  =  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
109simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  om  ~<_  x )
1110adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  x )
12 domnsym 7192 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  x  ->  -.  x  ~<  om )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  ~<  om )
14 isfinite 7563 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
1513, 14sylnibr 297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  e.  Fin )
16 iffalse 3706 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
188, 17syl5eq 2448 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
19 pwfseqlem4.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
20 pwfseqlem4.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
21 pwfseqlem4.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
22 pwfseqlem4.k . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
23 pwfseqlem4.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2419, 20, 21, 9, 22, 23pwfseqlem1 8489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
25 eldif 3290 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  <->  ( D  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
2624, 25sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) ) )
2726simpld 446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
28 eliun 4057 . . . 4  |-  ( D  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
2927, 28sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
30 elmapi 6997 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  ^m  n )  ->  D : n --> A )
3130ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  D : n --> A )
32 ssiun2 4094 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
x  ^m  n )  C_ 
U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )
3332ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( x  ^m  n
)  C_  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )
3426simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
3534adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) )
3633, 35ssneldd 3311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  (
x  ^m  n )
)
37 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
381, 37elmap 7001 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  D :
n --> x )
39 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( D : n --> A  ->  D  Fn  n )
40 ffnfv 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( D : n --> x  <->  ( D  Fn  n  /\  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4140baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( D  Fn  n  ->  ( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4231, 39, 413syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4338, 42syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4436, 43mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x )
45 nnon 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  On )
4645ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  On )
47 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  om
48 omsson 4808 . . . . . . . . . 10  |-  om  C_  On
4947, 48sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On
50 ordom 4813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  om
51 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  om )
52 ordelss 4557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
5350, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  C_  om )
54 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  <->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
)
5544, 54sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  n  -.  ( D `  z
)  e.  x )
56 ssrexv 3368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
C_  om  ->  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `
 z )  e.  x ) )
5753, 55, 56sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
58 rabn0 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
5957, 58sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =/=  (/) )
60 onint 4734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On  /\  {
z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)
6149, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )
6249, 61sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )
63 ontri1 4575 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  On  /\  |^|
{ z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )  ->  ( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
6446, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
65 ssintrab 4033 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  A. z  e.  om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )
66 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
67 ontri1 4575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6845, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6968imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n )
) )
70 con34b 284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x )  <-> 
( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n ) )
7169, 70syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
7271pm5.74da 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) ) )
73 bi2.04 351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7472, 73syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x ) ) ) )
75 elnn 4814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  z  e.  om )
76 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x )  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7877expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
z  e.  n  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7978a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x ) )  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
8074, 79sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  ->  (
z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) ) )
8180ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )  -> 
( z  e.  n  ->  ( D `  z
)  e.  x ) ) )
8281ralimdv2 2746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( A. z  e. 
om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
8365, 82syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8464, 83sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8544, 84mt3d 119 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n )
8631, 85ffvelrnd 5830 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  A )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( D `  y )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
8887eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( ( D `  y
)  e.  x  <->  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
8988notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( -.  ( D `  y )  e.  x  <->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x ) )
90 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( D `  z )  =  ( D `  y ) )
9190eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( D `  z
)  e.  x  <->  ( D `  y )  e.  x
) )
9291notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( D `  z
)  e.  x  <->  -.  ( D `  y )  e.  x ) )
9392cbvrabv 2915 . . . . . . 7  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =  { y  e.  om  |  -.  ( D `  y )  e.  x }
9489, 93elrab2 3054 . . . . . 6  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } 
<->  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  om 
/\  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
9594simprbi 451 . . . . 5  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x )
9661, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x )
9786, 96eldifd 3291 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9829, 97rexlimddv 2794 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9918, 98eqeltrd 2478 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   |^|cint 4010   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ^m cmap 6977    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  8492  pwfseqlem4  8493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072
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