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Theorem pwfseqlem3 8540
Description: Lemma for pwfseq 8544. Using the construction  D from pwfseqlem1 8538, produce a function  F that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
pwfseqlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x, z    D, n, z    w, G    w, K    H, r, x, z    ph, n, r, x, z    ps, n, z    A, n, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    F( x, z, w, n, r)    G( x, z, n, r)    H( w, n)    K( x, z, n, r)    X( x, z, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2961 . . . 4  |-  r  e. 
_V
3 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( H `
 ( card `  x
) )  e.  _V
4 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e. 
_V
53, 4ifex 3799 . . . 4  |-  if ( x  e.  Fin , 
( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
76ovmpt4g 6199 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  r  e.  _V  /\  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V )  ->  (
x F r )  =  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) ) )
81, 2, 5, 7mp3an 1280 . . 3  |-  ( x F r )  =  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
109simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  om  ~<_  x )
1110adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  x )
12 domnsym 7236 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  x  ->  -.  x  ~<  om )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  ~<  om )
14 isfinite 7610 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
1513, 14sylnibr 298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  e.  Fin )
16 iffalse 3748 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
188, 17syl5eq 2482 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
19 pwfseqlem4.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
20 pwfseqlem4.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
21 pwfseqlem4.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
22 pwfseqlem4.k . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
23 pwfseqlem4.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2419, 20, 21, 9, 22, 23pwfseqlem1 8538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
25 eldif 3332 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  <->  ( D  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
2624, 25sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) ) )
2726simpld 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
28 eliun 4099 . . . 4  |-  ( D  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
2927, 28sylib 190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
30 elmapi 7041 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  ^m  n )  ->  D : n --> A )
3130ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  D : n --> A )
32 ssiun2 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
x  ^m  n )  C_ 
U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )
3332ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( x  ^m  n
)  C_  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )
3426simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
3534adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) )
3633, 35ssneldd 3353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  (
x  ^m  n )
)
37 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
381, 37elmap 7045 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  D :
n --> x )
39 ffn 5594 . . . . . . . . 9  |-  ( D : n --> A  ->  D  Fn  n )
40 ffnfv 5897 . . . . . . . . . 10  |-  ( D : n --> x  <->  ( D  Fn  n  /\  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4140baib 873 . . . . . . . . 9  |-  ( D  Fn  n  ->  ( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4231, 39, 413syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4338, 42syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4436, 43mtbid 293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x )
45 nnon 4854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  On )
4645ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  On )
47 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  om
48 omsson 4852 . . . . . . . . . 10  |-  om  C_  On
4947, 48sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On
50 ordom 4857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  om
51 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  om )
52 ordelss 4600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
5350, 51, 52sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  C_  om )
54 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  <->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
)
5544, 54sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  n  -.  ( D `  z
)  e.  x )
56 ssrexv 3410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
C_  om  ->  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `
 z )  e.  x ) )
5753, 55, 56sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
58 rabn0 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
5957, 58sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =/=  (/) )
60 onint 4778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On  /\  {
z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)
6149, 59, 60sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )
6249, 61sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )
63 ontri1 4618 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  On  /\  |^|
{ z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )  ->  ( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
6446, 62, 63syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
65 ssintrab 4075 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  A. z  e.  om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )
66 nnon 4854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
67 ontri1 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6845, 66, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6968imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n )
) )
70 con34b 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x )  <-> 
( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n ) )
7169, 70syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
7271pm5.74da 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) ) )
73 bi2.04 352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7472, 73syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x ) ) ) )
75 elnn 4858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  z  e.  om )
76 pm2.27 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x )  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7877expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
z  e.  n  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7978a2d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x ) )  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
8074, 79sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  ->  (
z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) ) )
8180ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )  -> 
( z  e.  n  ->  ( D `  z
)  e.  x ) ) )
8281ralimdv2 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( A. z  e. 
om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
8365, 82syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8464, 83sylbird 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8544, 84mt3d 120 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n )
8631, 85ffvelrnd 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  A )
87 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( D `  y )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
8887eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( ( D `  y
)  e.  x  <->  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
8988notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( -.  ( D `  y )  e.  x  <->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x ) )
90 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( D `  z )  =  ( D `  y ) )
9190eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( D `  z
)  e.  x  <->  ( D `  y )  e.  x
) )
9291notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( D `  z
)  e.  x  <->  -.  ( D `  y )  e.  x ) )
9392cbvrabv 2957 . . . . . . 7  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =  { y  e.  om  |  -.  ( D `  y )  e.  x }
9489, 93elrab2 3096 . . . . . 6  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } 
<->  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  om 
/\  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
9594simprbi 452 . . . . 5  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x )
9661, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x )
9786, 96eldifd 3333 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9829, 97rexlimddv 2836 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9918, 98eqeltrd 2512 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   |^|cint 4052   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    We wwe 4543   Ord word 4583   Oncon0 4584   omcom 4848    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086    ^m cmap 7021    ~<_ cdom 7110    ~< csdm 7111   Fincfn 7112   cardccrd 7827
This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  8541  pwfseqlem4  8542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116
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