MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Unicode version

Theorem pws1 15492
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
pws1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 13478 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5609 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r `  Y )  =  ( 1r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2358 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 simpr 447 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 fvex 5619 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
87a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 fconst6g 5510 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> Ring )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
Ring )
115, 6, 8, 10prds1 15490 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( 1r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
12 fn0g 14478 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 fnmgp 15420 . . . . . . 7  |- mulGrp  Fn  _V
1514a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  -> mulGrp  Fn  _V )
16 ssv 3274 . . . . . . 7  |-  ran mulGrp  C_  _V
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ran mulGrp  C_  _V )
18 fnco 5431 . . . . . 6  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\ mulGrp  Fn 
_V  /\  ran mulGrp  C_  _V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
20 df-ur 15435 . . . . . 6  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120fneq1i 5417 . . . . 5  |-  ( 1r  Fn  _V  <->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
2219, 21sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  1r  Fn  _V )
23 elex 2872 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
25 fcoconst 5775 . . . 4  |-  ( ( 1r  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( 1r  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {
( 1r `  R
) } ) )
2622, 24, 25syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  { ( 1r `  R ) } ) )
27 pws1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2827sneqi 3728 . . . 4  |-  {  .1.  }  =  { ( 1r
`  R ) }
2928xpeq2i 4789 . . 3  |-  ( I  X.  {  .1.  }
)  =  ( I  X.  { ( 1r
`  R ) } )
3026, 29syl6eqr 2408 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {  .1.  } ) )
314, 11, 303eqtr2rd 2397 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   {csn 3716    X. cxp 4766   ran crn 4769    o. ccom 4772    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942  Scalarcsca 13302   X_scprds 13439    ^s cpws 13440   0gc0g 13493  mulGrpcmgp 15418   Ringcrg 15430   1rcur 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-hom 13323  df-cco 13324  df-prds 13441  df-pws 13443  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435
  Copyright terms: Public domain W3C validator