MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Unicode version

Theorem pws1 15677
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
pws1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 13663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5691 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r `  Y )  =  ( 1r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2404 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 fvex 5701 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 fconst6g 5591 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> Ring )
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
Ring )
115, 6, 8, 10prds1 15675 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( 1r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
12 fn0g 14663 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 fnmgp 15605 . . . . . . 7  |- mulGrp  Fn  _V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  -> mulGrp  Fn  _V )
16 ssv 3328 . . . . . . 7  |-  ran mulGrp  C_  _V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ran mulGrp  C_  _V )
18 fnco 5512 . . . . . 6  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\ mulGrp  Fn 
_V  /\  ran mulGrp  C_  _V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
20 df-ur 15620 . . . . . 6  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120fneq1i 5498 . . . . 5  |-  ( 1r  Fn  _V  <->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
2219, 21sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  1r  Fn  _V )
23 elex 2924 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
25 fcoconst 5864 . . . 4  |-  ( ( 1r  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( 1r  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {
( 1r `  R
) } ) )
2622, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  { ( 1r `  R ) } ) )
27 pws1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2827sneqi 3786 . . . 4  |-  {  .1.  }  =  { ( 1r
`  R ) }
2928xpeq2i 4858 . . 3  |-  ( I  X.  {  .1.  }
)  =  ( I  X.  { ( 1r
`  R ) } )
3026, 29syl6eqr 2454 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {  .1.  } ) )
314, 11, 303eqtr2rd 2443 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774    X. cxp 4835   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040  Scalarcsca 13487   X_scprds 13624    ^s cpws 13625   0gc0g 13678  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   1rcur 15617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620
  Copyright terms: Public domain W3C validator