Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1mhm Unicode version

Theorem pwsco1mhm 14446
 Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y s
pwsco1mhm.z s
pwsco1mhm.c
pwsco1mhm.r
pwsco1mhm.a
pwsco1mhm.b
pwsco1mhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4
2 pwsco1mhm.b . . . 4
3 pwsco1mhm.z . . . . 5 s
43pwsmnd 14407 . . . 4
51, 2, 4syl2anc 642 . . 3
6 pwsco1mhm.a . . . 4
7 pwsco1mhm.y . . . . 5 s
87pwsmnd 14407 . . . 4
91, 6, 8syl2anc 642 . . 3
105, 9jca 518 . 2
11 eqid 2283 . . . . . . . . 9
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9
133, 11, 12pwselbasb 13387 . . . . . . . 8
141, 2, 13syl2anc 642 . . . . . . 7
1514biimpa 470 . . . . . 6
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7
1716adantr 451 . . . . . 6
18 fco 5398 . . . . . 6
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5
20 eqid 2283 . . . . . . . 8
217, 11, 20pwselbasb 13387 . . . . . . 7
221, 6, 21syl2anc 642 . . . . . 6
2322adantr 451 . . . . 5
2419, 23mpbird 223 . . . 4
25 eqid 2283 . . . 4
2624, 25fmptd 5684 . . 3
276adantr 451 . . . . . . 7
28 fvex 5539 . . . . . . . 8
2928a1i 10 . . . . . . 7
30 fvex 5539 . . . . . . . 8
3130a1i 10 . . . . . . 7
3216adantr 451 . . . . . . . . 9
33 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
3432, 33sylan 457 . . . . . . . 8
3532feqmptd 5575 . . . . . . . 8
361adantr 451 . . . . . . . . . 10
372adantr 451 . . . . . . . . . 10
38 simprl 732 . . . . . . . . . 10
393, 11, 12, 36, 37, 38pwselbas 13388 . . . . . . . . 9
4039feqmptd 5575 . . . . . . . 8
41 fveq2 5525 . . . . . . . 8
4234, 35, 40, 41fmptco 5691 . . . . . . 7
43 simprr 733 . . . . . . . . . 10
443, 11, 12, 36, 37, 43pwselbas 13388 . . . . . . . . 9
4544feqmptd 5575 . . . . . . . 8
46 fveq2 5525 . . . . . . . 8
4734, 35, 45, 46fmptco 5691 . . . . . . 7
4827, 29, 31, 42, 47offval2 6095 . . . . . 6
49 fco 5398 . . . . . . . . 9
5039, 32, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8
517, 11, 20pwselbasb 13387 . . . . . . . . 9
5236, 27, 51syl2anc 642 . . . . . . . 8
5350, 52mpbird 223 . . . . . . 7
54 fco 5398 . . . . . . . . 9
5544, 32, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8
567, 11, 20pwselbasb 13387 . . . . . . . . 9
5736, 27, 56syl2anc 642 . . . . . . . 8
5855, 57mpbird 223 . . . . . . 7
59 eqid 2283 . . . . . . 7
60 eqid 2283 . . . . . . 7
617, 20, 36, 27, 53, 58, 59, 60pwsplusgval 13389 . . . . . 6
62 eqid 2283 . . . . . . . . 9
633, 12, 36, 37, 38, 43, 59, 62pwsplusgval 13389 . . . . . . . 8
64 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
6564a1i 10 . . . . . . . . 9
66 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
6766a1i 10 . . . . . . . . 9
6837, 65, 67, 40, 45offval2 6095 . . . . . . . 8
6963, 68eqtrd 2315 . . . . . . 7
7041, 46oveq12d 5876 . . . . . . 7
7134, 35, 69, 70fmptco 5691 . . . . . 6
7248, 61, 713eqtr4rd 2326 . . . . 5
7312, 62mndcl 14372 . . . . . . . 8
74733expb 1152 . . . . . . 7
755, 74sylan 457 . . . . . 6
76 ovex 5883 . . . . . . 7
77 fex 5749 . . . . . . . . 9
7816, 6, 77syl2anc 642 . . . . . . . 8
7978adantr 451 . . . . . . 7
80 coexg 5215 . . . . . . 7
8176, 79, 80sylancr 644 . . . . . 6
82 coeq1 4841 . . . . . . 7
8382, 25fvmptg 5600 . . . . . 6
8475, 81, 83syl2anc 642 . . . . 5
85 coexg 5215 . . . . . . . 8
8638, 79, 85syl2anc 642 . . . . . . 7
87 coeq1 4841 . . . . . . . 8
8887, 25fvmptg 5600 . . . . . . 7
8938, 86, 88syl2anc 642 . . . . . 6
90 coexg 5215 . . . . . . . 8
9143, 79, 90syl2anc 642 . . . . . . 7
92 coeq1 4841 . . . . . . . 8
9392, 25fvmptg 5600 . . . . . . 7
9443, 91, 93syl2anc 642 . . . . . 6
9589, 94oveq12d 5876 . . . . 5
9672, 84, 953eqtr4d 2325 . . . 4
9796ralrimivva 2635 . . 3
98 eqid 2283 . . . . . . 7
9912, 98mndidcl 14391 . . . . . 6
1005, 99syl 15 . . . . 5
101 coexg 5215 . . . . . 6
102100, 78, 101syl2anc 642 . . . . 5
103 coeq1 4841 . . . . . 6
104103, 25fvmptg 5600 . . . . 5
105100, 102, 104syl2anc 642 . . . 4
1063, 11, 12, 1, 2, 100pwselbas 13388 . . . . . . 7
107 fco 5398 . . . . . . 7
108106, 16, 107syl2anc 642 . . . . . 6
109 ffn 5389 . . . . . 6
110108, 109syl 15 . . . . 5
111 fvex 5539 . . . . . . 7
112111a1i 10 . . . . . 6
113 fnconstg 5429 . . . . . 6
114112, 113syl 15 . . . . 5
115 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
1163, 115pws0g 14408 . . . . . . . . . 10
1171, 2, 116syl2anc 642 . . . . . . . . 9
118117fveq1d 5527 . . . . . . . 8
119118adantr 451 . . . . . . 7
120 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
12116, 120sylan 457 . . . . . . . 8
122 fvconst2g 5727 . . . . . . . 8
123111, 121, 122sylancr 644 . . . . . . 7
124119, 123eqtr3d 2317 . . . . . 6
125 fvco3 5596 . . . . . . 7
12616, 125sylan 457 . . . . . 6
127 fvconst2g 5727 . . . . . . 7
128112, 127sylan 457 . . . . . 6
129124, 126, 1283eqtr4d 2325 . . . . 5
130110, 114, 129eqfnfvd 5625 . . . 4
1317, 115pws0g 14408 . . . . 5
1321, 6, 131syl2anc 642 . . . 4
133105, 130, 1323eqtrd 2319 . . 3
13426, 97, 1333jca 1132 . 2
135 eqid 2283 . . 3
13612, 20, 62, 60, 98, 135ismhm 14417 . 2 MndHom
13710, 134, 136sylanbrc 645 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076  cbs 13148   cplusg 13208   s cpws 13347  c0g 13400  cmnd 14361   MndHom cmhm 14413 This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  15510 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415
 Copyright terms: Public domain W3C validator