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Theorem pwsco2mhm 14447
Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2mhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
pwsco2mhm.z  |-  Z  =  ( S  ^s  A )
pwsco2mhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsco2mhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pwsco2mhm.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
Assertion
Ref Expression
pwsco2mhm  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) )  e.  ( Y MndHom  Z ) )
Distinct variable groups:    B, g    g, F    g, Y    g, Z    ph, g
Allowed substitution hints:    A( g)    R( g)    S( g)    V( g)

Proof of Theorem pwsco2mhm
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2mhm.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
2 mhmrcl1 14418 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  R  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
4 pwsco2mhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pwsco2mhm.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
65pwsmnd 14407 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
73, 4, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
8 mhmrcl2 14419 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  S  e.  Mnd )
91, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
10 pwsco2mhm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( S  ^s  A )
1110pwsmnd 14407 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Z  e.  Mnd )
129, 4, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  Mnd )
137, 12jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  Z  e.  Mnd )
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1614, 15mhmf 14420 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  F :
( Base `  R ) --> ( Base `  S )
)
171, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S ) )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
) )
19 pwsco2mhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
203adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
214adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  A  e.  V )
22 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  B )
235, 14, 19, 20, 21, 22pwselbas 13388 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g : A --> ( Base `  R
) )
24 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  g : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S
) )
2518, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S
) )
269adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  S  e.  Mnd )
27 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
2810, 15, 27pwselbasb 13387 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S ) ) )
2926, 21, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( Base `  Z )  <->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S )
) )
3025, 29mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( Base `  Z
) )
31 eqid 2283 . . . 4  |-  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )  =  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )
3230, 31fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) : B --> ( Base `  Z )
)
331adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
3533, 2syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Mnd )
364adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A  e.  V )
37 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
385, 14, 19, 35, 36, 37pwselbas 13388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : A --> ( Base `  R ) )
39 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x : A --> ( Base `  R )  /\  w  e.  A )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  R
) )
4038, 39sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  R
) )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
425, 14, 19, 35, 36, 41pwselbas 13388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : A --> ( Base `  R ) )
43 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : A --> ( Base `  R )  /\  w  e.  A )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  R
) )
4442, 43sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  R
) )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4714, 45, 46mhmlin 14422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  (
x `  w )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( y `  w )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) )  =  ( ( F `  ( x `
 w ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( y `  w
) ) ) )
4834, 40, 44, 47syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( (
x `  w )
( +g  `  R ) ( y `  w
) ) )  =  ( ( F `  ( x `  w
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  w ) ) ) )
4948mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( w  e.  A  |->  ( F `  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  ( x `
 w ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( y `  w
) ) ) ) )
50 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( x `  w ) )  e. 
_V
5150a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( x `  w ) )  e. 
_V )
52 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( y `  w ) )  e. 
_V
5352a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( y `  w ) )  e. 
_V )
5438feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( w  e.  A  |->  ( x `
 w ) ) )
5533, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
) )
5655feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F  =  ( z  e.  ( Base `  R
)  |->  ( F `  z ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x `  w
) ) )
5840, 54, 56, 57fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( x `  w ) ) ) )
5942feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( w  e.  A  |->  ( y `
 w ) ) )
60 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( y `  w
) ) )
6144, 59, 56, 60fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( y `  w ) ) ) )
6236, 51, 53, 58, 61offval2 6095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x )  o F ( +g  `  S
) ( F  o.  y ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  ( x `  w
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  w ) ) ) ) )
6349, 62eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( w  e.  A  |->  ( F `  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) ) ) )  =  ( ( F  o.  x )  o F ( +g  `  S ) ( F  o.  y ) ) )
6435adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  R  e.  Mnd )
6514, 45mndcl 14372 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( x `  w
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  e.  ( Base `  R
) )
6664, 40, 44, 65syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  e.  ( Base `  R
) )
67 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
685, 19, 35, 36, 37, 41, 45, 67pwsplusgval 13389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
69 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
7069a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
x `  w )  e.  _V )
71 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
7271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
y `  w )  e.  _V )
7336, 70, 72, 54, 59offval2 6095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  o F ( +g  `  R
) y )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
7468, 73eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) ) ) )
75 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
7666, 74, 56, 75fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) ) )
7733, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
78 fco 5398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  x : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S
) )
7955, 38, 78syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
) : A --> ( Base `  S ) )
8010, 15, 27pwselbasb 13387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  x )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8177, 36, 80syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
)  e.  ( Base `  Z ) )
83 fco 5398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  y : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S
) )
8455, 42, 83syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
) : A --> ( Base `  S ) )
8510, 15, 27pwselbasb 13387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  y )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8677, 36, 85syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  y )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8784, 86mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
)  e.  ( Base `  Z ) )
88 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
8910, 27, 77, 36, 82, 87, 46, 88pwsplusgval 13389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y ) )  =  ( ( F  o.  x )  o F ( +g  `  S
) ( F  o.  y ) ) )
9063, 76, 893eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y
) ) )
9119, 67mndcl 14372 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B )
92913expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  Y
) y )  e.  B )
937, 92sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B )
94 coexg 5215 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  (
x ( +g  `  Y
) y )  e.  B )  ->  ( F  o.  ( x
( +g  `  Y ) y ) )  e. 
_V )
9533, 93, 94syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  e.  _V )
96 coeq2 4842 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x ( +g  `  Y ) y )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
9796, 31fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B  /\  ( F  o.  ( x
( +g  `  Y ) y ) )  e. 
_V )  ->  (
( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
9893, 95, 97syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
99 coeq2 4842 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  x  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  x ) )
10099, 31fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( F  o.  x
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x )  =  ( F  o.  x ) )
10137, 82, 100syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x )  =  ( F  o.  x ) )
102 coeq2 4842 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  y  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  y ) )
103102, 31fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( F  o.  y
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y )  =  ( F  o.  y ) )
10441, 87, 103syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y )  =  ( F  o.  y ) )
105101, 104oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 x ) ( +g  `  Z ) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y ) )  =  ( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y ) ) )
10690, 98, 1053eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) ) )
107106ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) ) )
108 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
10919, 108mndidcl 14391 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
1107, 109syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  e.  B )
111 coexg 5215 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  ( 0g `  Y )  e.  B )  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e. 
_V )
1121, 110, 111syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e.  _V )
113 coeq2 4842 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( 0g `  Y )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
114113, 31fvmptg 5600 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  Y
)  e.  B  /\  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e.  _V )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
115110, 112, 114syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
116 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
)  ->  F  Fn  ( Base `  R )
)
11717, 116syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( Base `  R ) )
118 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
11914, 118mndidcl 14391 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Mnd  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
1203, 119syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
121 fcoconst 5695 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( A  X.  { ( F `
 ( 0g `  R ) ) } ) )
122117, 120, 121syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( A  X.  { ( F `  ( 0g
`  R ) ) } ) )
1235, 118pws0g 14408 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
1243, 4, 123syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
125124coeq2d 4846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( F  o.  ( 0g
`  Y ) ) )
126 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
127118, 126mhm0 14423 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
1281, 127syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  S ) )
129128sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F `  ( 0g `  R ) ) }  =  {
( 0g `  S
) } )
130129xpeq2d 4713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( F `  ( 0g `  R ) ) } )  =  ( A  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
131122, 125, 1303eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  =  ( A  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
13210, 126pws0g 14408 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  S
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
1339, 4, 132syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  S
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
134115, 131, 1333eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  Z ) )
13532, 107, 1343jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) : B --> ( Base `  Z
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x ) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  Z
) ) )
136 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
13719, 27, 67, 88, 108, 136ismhm 14417 . 2  |-  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )  e.  ( Y MndHom  Z )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  Z  e.  Mnd )  /\  (
( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) : B --> ( Base `  Z )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  Z
) ) ) )
13813, 135, 137sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) )  e.  ( Y MndHom  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208    ^s cpws 13347   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   MndHom cmhm 14413
This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  15511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415
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