Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2mhm Structured version   Unicode version

Theorem pwsco2mhm 14770
 Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2mhm.y s
pwsco2mhm.z s
pwsco2mhm.b
pwsco2mhm.a
pwsco2mhm.f MndHom
Assertion
Ref Expression
pwsco2mhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pwsco2mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2mhm.f . . . . 5 MndHom
2 mhmrcl1 14741 . . . . 5 MndHom
31, 2syl 16 . . . 4
4 pwsco2mhm.a . . . 4
5 pwsco2mhm.y . . . . 5 s
65pwsmnd 14730 . . . 4
73, 4, 6syl2anc 643 . . 3
8 mhmrcl2 14742 . . . . 5 MndHom
91, 8syl 16 . . . 4
10 pwsco2mhm.z . . . . 5 s
1110pwsmnd 14730 . . . 4
129, 4, 11syl2anc 643 . . 3
137, 12jca 519 . 2
14 eqid 2436 . . . . . . . . 9
15 eqid 2436 . . . . . . . . 9
1614, 15mhmf 14743 . . . . . . . 8 MndHom
171, 16syl 16 . . . . . . 7
1817adantr 452 . . . . . 6
19 pwsco2mhm.b . . . . . . 7
203adantr 452 . . . . . . 7
214adantr 452 . . . . . . 7
22 simpr 448 . . . . . . 7
235, 14, 19, 20, 21, 22pwselbas 13711 . . . . . 6
24 fco 5600 . . . . . 6
2518, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5
269adantr 452 . . . . . 6
27 eqid 2436 . . . . . . 7
2810, 15, 27pwselbasb 13710 . . . . . 6
2926, 21, 28syl2anc 643 . . . . 5
3025, 29mpbird 224 . . . 4
31 eqid 2436 . . . 4
3230, 31fmptd 5893 . . 3
331adantr 452 . . . . . . . . . 10 MndHom
3433adantr 452 . . . . . . . . 9 MndHom
3533, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11
364adantr 452 . . . . . . . . . . 11
37 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
385, 14, 19, 35, 36, 37pwselbas 13711 . . . . . . . . . 10
3938ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9
40 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
415, 14, 19, 35, 36, 40pwselbas 13711 . . . . . . . . . 10
4241ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9
43 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
44 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
4514, 43, 44mhmlin 14745 . . . . . . . . 9 MndHom
4634, 39, 42, 45syl3anc 1184 . . . . . . . 8
4746mpteq2dva 4295 . . . . . . 7
48 fvex 5742 . . . . . . . . 9
4948a1i 11 . . . . . . . 8
50 fvex 5742 . . . . . . . . 9
5150a1i 11 . . . . . . . 8
5238feqmptd 5779 . . . . . . . . 9
5333, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
5453feqmptd 5779 . . . . . . . . 9
55 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
5639, 52, 54, 55fmptco 5901 . . . . . . . 8
5741feqmptd 5779 . . . . . . . . 9
58 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
5942, 57, 54, 58fmptco 5901 . . . . . . . 8
6036, 49, 51, 56, 59offval2 6322 . . . . . . 7
6147, 60eqtr4d 2471 . . . . . 6
6235adantr 452 . . . . . . . 8
6314, 43mndcl 14695 . . . . . . . 8
6462, 39, 42, 63syl3anc 1184 . . . . . . 7
65 eqid 2436 . . . . . . . . 9
665, 19, 35, 36, 37, 40, 43, 65pwsplusgval 13712 . . . . . . . 8
67 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
6867a1i 11 . . . . . . . . 9
69 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
7069a1i 11 . . . . . . . . 9
7136, 68, 70, 52, 57offval2 6322 . . . . . . . 8
7266, 71eqtrd 2468 . . . . . . 7
73 fveq2 5728 . . . . . . 7
7464, 72, 54, 73fmptco 5901 . . . . . 6
7533, 8syl 16 . . . . . . 7
76 fco 5600 . . . . . . . . 9
7753, 38, 76syl2anc 643 . . . . . . . 8
7810, 15, 27pwselbasb 13710 . . . . . . . . 9
7975, 36, 78syl2anc 643 . . . . . . . 8
8077, 79mpbird 224 . . . . . . 7
81 fco 5600 . . . . . . . . 9
8253, 41, 81syl2anc 643 . . . . . . . 8
8310, 15, 27pwselbasb 13710 . . . . . . . . 9
8475, 36, 83syl2anc 643 . . . . . . . 8
8582, 84mpbird 224 . . . . . . 7
86 eqid 2436 . . . . . . 7
8710, 27, 75, 36, 80, 85, 44, 86pwsplusgval 13712 . . . . . 6
8861, 74, 873eqtr4d 2478 . . . . 5
8919, 65mndcl 14695 . . . . . . . 8
90893expb 1154 . . . . . . 7
917, 90sylan 458 . . . . . 6
92 coexg 5412 . . . . . . 7 MndHom
9333, 91, 92syl2anc 643 . . . . . 6
94 coeq2 5031 . . . . . . 7
9594, 31fvmptg 5804 . . . . . 6
9691, 93, 95syl2anc 643 . . . . 5
97 coeq2 5031 . . . . . . . 8
9897, 31fvmptg 5804 . . . . . . 7
9937, 80, 98syl2anc 643 . . . . . 6
100 coeq2 5031 . . . . . . . 8
101100, 31fvmptg 5804 . . . . . . 7
10240, 85, 101syl2anc 643 . . . . . 6
10399, 102oveq12d 6099 . . . . 5
10488, 96, 1033eqtr4d 2478 . . . 4
105104ralrimivva 2798 . . 3
106 eqid 2436 . . . . . . 7
10719, 106mndidcl 14714 . . . . . 6
1087, 107syl 16 . . . . 5
109 coexg 5412 . . . . . 6 MndHom
1101, 108, 109syl2anc 643 . . . . 5
111 coeq2 5031 . . . . . 6
112111, 31fvmptg 5804 . . . . 5
113108, 110, 112syl2anc 643 . . . 4
114 ffn 5591 . . . . . . 7
11517, 114syl 16 . . . . . 6
116 eqid 2436 . . . . . . . 8
11714, 116mndidcl 14714 . . . . . . 7
1183, 117syl 16 . . . . . 6
119 fcoconst 5905 . . . . . 6
120115, 118, 119syl2anc 643 . . . . 5
1215, 116pws0g 14731 . . . . . . 7
1223, 4, 121syl2anc 643 . . . . . 6
123122coeq2d 5035 . . . . 5
124 eqid 2436 . . . . . . . . 9
125116, 124mhm0 14746 . . . . . . . 8 MndHom
1261, 125syl 16 . . . . . . 7
127126sneqd 3827 . . . . . 6
128127xpeq2d 4902 . . . . 5
129120, 123, 1283eqtr3d 2476 . . . 4
13010, 124pws0g 14731 . . . . 5
1319, 4, 130syl2anc 643 . . . 4
132113, 129, 1313eqtrd 2472 . . 3
13332, 105, 1323jca 1134 . 2
134 eqid 2436 . . 3
13519, 27, 65, 86, 106, 134ismhm 14740 . 2 MndHom
13613, 133, 135sylanbrc 646 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cbs 13469   cplusg 13529   s cpws 13670  c0g 13723  cmnd 14684   MndHom cmhm 14736 This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  15834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738
 Copyright terms: Public domain W3C validator