Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Unicode version

Theorem pwsco2rhm 15527
 Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y s
pwsco2rhm.z s
pwsco2rhm.b
pwsco2rhm.a
pwsco2rhm.f RingHom
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . . 5 RingHom
2 rhmrcl1 15515 . . . . 5 RingHom
31, 2syl 15 . . . 4
4 pwsco2rhm.a . . . 4
5 pwsco2rhm.y . . . . 5 s
65pwsrng 15414 . . . 4
73, 4, 6syl2anc 642 . . 3
8 rhmrcl2 15516 . . . . 5 RingHom
91, 8syl 15 . . . 4
10 pwsco2rhm.z . . . . 5 s
1110pwsrng 15414 . . . 4
129, 4, 11syl2anc 642 . . 3
137, 12jca 518 . 2
14 pwsco2rhm.b . . . . 5
15 rhmghm 15519 . . . . . . 7 RingHom
161, 15syl 15 . . . . . 6
17 ghmmhm 14709 . . . . . 6 MndHom
1816, 17syl 15 . . . . 5 MndHom
195, 10, 14, 4, 18pwsco2mhm 14463 . . . 4 MndHom
20 rnggrp 15362 . . . . . 6
217, 20syl 15 . . . . 5
22 rnggrp 15362 . . . . . 6
2312, 22syl 15 . . . . 5
24 ghmmhmb 14710 . . . . 5 MndHom
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . 4 MndHom
2619, 25eleqtrrd 2373 . . 3
27 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
285, 27pwsbas 13402 . . . . . . . . 9
293, 4, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8
3029, 14syl6eqr 2346 . . . . . . 7
31 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp
3231rngmgp 15363 . . . . . . . . 9 mulGrp
333, 32syl 15 . . . . . . . 8 mulGrp
34 eqid 2296 . . . . . . . . 9 mulGrp s mulGrp s
3531, 27mgpbas 15347 . . . . . . . . 9 mulGrp
3634, 35pwsbas 13402 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp s
3733, 4, 36syl2anc 642 . . . . . . 7 mulGrp s
3830, 37eqtr3d 2330 . . . . . 6 mulGrp s
39 mpteq1 4116 . . . . . 6 mulGrp s mulGrp s
4038, 39syl 15 . . . . 5 mulGrp s
41 eqid 2296 . . . . . 6 mulGrp s mulGrp s
42 eqid 2296 . . . . . 6 mulGrp s mulGrp s
43 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
4431, 43rhmmhm 15518 . . . . . . 7 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
451, 44syl 15 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp
4634, 41, 42, 4, 45pwsco2mhm 14463 . . . . 5 mulGrp s mulGrp s MndHom mulGrp s
4740, 46eqeltrd 2370 . . . 4 mulGrp s MndHom mulGrp s
48 eqidd 2297 . . . . 5 mulGrp mulGrp
49 eqidd 2297 . . . . 5 mulGrp mulGrp
50 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
51 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
52 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
53 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
545, 31, 34, 50, 51, 42, 52, 53pwsmgp 15417 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
553, 4, 54syl2anc 642 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
5655simpld 445 . . . . 5 mulGrp mulGrp s
57 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
58 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
59 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
60 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
61 eqid 2296 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
6210, 43, 41, 57, 58, 59, 60, 61pwsmgp 15417 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
639, 4, 62syl2anc 642 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
6463simpld 445 . . . . 5 mulGrp mulGrp s
6555simprd 449 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s
6665proplem3 13609 . . . . 5 mulGrp mulGrp mulGrp mulGrp s
6763simprd 449 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s
6867proplem3 13609 . . . . 5 mulGrp mulGrp mulGrp mulGrp s
6948, 49, 56, 64, 66, 68mhmpropd 14437 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp s MndHom mulGrp s
7047, 69eleqtrrd 2373 . . 3 mulGrp MndHom mulGrp
7126, 70jca 518 . 2 mulGrp MndHom mulGrp
7250, 57isrhm 15517 . 2 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
7313, 71, 72sylanbrc 645 1 RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   cmpt 4093   ccom 4709  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmap 6788  cbs 13164   cplusg 13224   s cpws 13363  cmnd 14377  cgrp 14378   MndHom cmhm 14429   cghm 14696  mulGrpcmgp 15341  crg 15353   RingHom crh 15510 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-rnghom 15512
 Copyright terms: Public domain W3C validator