MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Unicode version

Theorem pwsdiaglmhm 16126
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsdiaglmhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwsdiaglmhm.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( I  X.  {
x } ) )
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  F  e.  ( R LMHom  Y ) )
Distinct variable groups:    x, Y    x, R    x, I    x, B    x, W
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2436 . 2  |-  ( .s
`  R )  =  ( .s `  R
)
3 eqid 2436 . 2  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
4 eqid 2436 . 2  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
5 eqid 2436 . 2  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
6 eqid 2436 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  R )
)  =  ( Base `  (Scalar `  R )
)
7 simpl 444 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  LMod )
8 pwsdiaglmhm.y . . 3  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
98pwslmod 16039 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  Y  e.  LMod )
108, 4pwssca 13711 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  Y ) )
1110eqcomd 2441 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  R ) )
12 lmodgrp 15950 . . 3  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( I  X.  {
x } ) )
148, 1, 13pwsdiagghm 15026 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  W )  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  Y ) )
1512, 14sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  Y ) )
16 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  I  e.  W )
171, 4, 2, 6lmodvscl 15960 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( a ( .s
`  R ) b )  e.  B )
18173expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  R )
)  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .s
`  R ) b )  e.  B )
1918adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( .s `  R
) b )  e.  B )
2013fvdiagfn 7051 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( a ( .s
`  R ) b )  e.  B )  ->  ( F `  ( a ( .s
`  R ) b ) )  =  ( I  X.  { ( a ( .s `  R ) b ) } ) )
2116, 19, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( F `  ( a ( .s
`  R ) b ) )  =  ( I  X.  { ( a ( .s `  R ) b ) } ) )
2213fvdiagfn 7051 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  =  ( I  X.  { b } ) )
2322ad2ant2l 727 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( F `  b )  =  ( I  X.  { b } ) )
2423oveq2d 6090 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( .s `  Y
) ( F `  b ) )  =  ( a ( .s
`  Y ) ( I  X.  { b } ) ) )
25 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
26 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  R  e.  LMod )
27 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) )
288, 1, 25pwsdiagel 13712 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  b  e.  B
)  ->  ( I  X.  { b } )  e.  ( Base `  Y
) )
2928adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( I  X.  { b } )  e.  ( Base `  Y
) )
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 13709 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( .s `  Y
) ( I  X.  { b } ) )  =  ( ( I  X.  { a } )  o F ( .s `  R
) ( I  X.  { b } ) ) )
31 id 20 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  W )
32 vex 2952 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  a  e.  _V )
34 vex 2952 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  b  e.  _V )
3631, 33, 35ofc12 6322 . . . . 5  |-  ( I  e.  W  ->  (
( I  X.  {
a } )  o F ( .s `  R ) ( I  X.  { b } ) )  =  ( I  X.  { ( a ( .s `  R ) b ) } ) )
3736ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( (
I  X.  { a } )  o F ( .s `  R
) ( I  X.  { b } ) )  =  ( I  X.  { ( a ( .s `  R
) b ) } ) )
3824, 30, 373eqtrd 2472 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( a
( .s `  Y
) ( F `  b ) )  =  ( I  X.  {
( a ( .s
`  R ) b ) } ) )
3921, 38eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  /\  ( a  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) )  /\  b  e.  B )
)  ->  ( F `  ( a ( .s
`  R ) b ) )  =  ( a ( .s `  Y ) ( F `
 b ) ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 16108 1  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  F  e.  ( R LMHom  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949   {csn 3807    e. cmpt 4259    X. cxp 4869   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    o Fcof 6296   Basecbs 13462  Scalarcsca 13525   .scvsca 13526    ^s cpws 13663   Grpcgrp 14678    GrpHom cghm 14996   LModclmod 15943   LMHom clmhm 16088
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  27163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-hom 13546  df-cco 13547  df-prds 13664  df-pws 13666  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-ghm 14997  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-lmod 15945  df-lmhm 16091
  Copyright terms: Public domain W3C validator