MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsleval Unicode version

Theorem pwsleval 13441
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsle.v  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsle.o  |-  O  =  ( le `  R
)
pwsle.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
pwsleval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsleval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsleval.a  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsleval.b  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pwsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, O    x, R    x, V    x, F    x, G    ph, x    x, W
Allowed substitution hints:    .<_ ( x)    Y( x)

Proof of Theorem pwsleval
StepHypRef Expression
1 pwsleval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 pwsleval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 pwsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 pwsle.v . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 pwsle.o . . . . 5  |-  O  =  ( le `  R
)
6 pwsle.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  Y )
73, 4, 5, 6pwsle 13440 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
.<_  =  (  o R O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
81, 2, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  -> 
.<_  =  (  o R O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
98breqd 4071 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  F (  o R O  i^i  ( B  X.  B ) ) G ) )
10 pwsleval.a . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
11 pwsleval.b . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
12 brinxp 4789 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  o R O G  <->  F (  o R O  i^i  ( B  X.  B ) ) G ) )
1310, 11, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o R O G  <->  F (  o R O  i^i  ( B  X.  B ) ) G ) )
14 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
153, 14, 4, 1, 2, 10pwselbas 13437 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
16 ffn 5427 . . . 4  |-  ( F : I --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  I )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
183, 14, 4, 1, 2, 11pwselbas 13437 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
19 ffn 5427 . . . 4  |-  ( G : I --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  I )
2018, 19syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
21 inidm 3412 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
22 eqidd 2317 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
23 eqidd 2317 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2417, 20, 2, 2, 21, 22, 23ofrfval 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o R O G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
259, 13, 243bitr2d 272 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    i^i cin 3185   class class class wbr 4060    X. cxp 4724    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Rcofr 6119   Basecbs 13195   lecple 13262    ^s cpws 13396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-hom 13279  df-cco 13280  df-prds 13397  df-pws 13399
  Copyright terms: Public domain W3C validator