Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnm Unicode version

Theorem pwslnm 26866
Description: Finite powers of Noetherian modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnm.y  |-  Y  =  ( W  ^s  I )
Assertion
Ref Expression
pwslnm  |-  ( ( W  e. LNoeM  /\  I  e. 
Fin )  ->  Y  e. LNoeM )

Proof of Theorem pwslnm
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnm.y . 2  |-  Y  =  ( W  ^s  I )
2 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( W  ^s  a )  =  ( W  ^s  (/) ) )
32eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  ^s  a )  e. LNoeM  <->  ( W  ^s  (/) )  e. LNoeM ) )
43imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  a )  e. LNoeM )  <->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  (/) )  e. LNoeM ) ) )
5 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( W  ^s  a )  =  ( W  ^s  b ) )
65eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( W  ^s  a )  e. LNoeM 
<->  ( W  ^s  b )  e. LNoeM ) )
76imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  a )  e. LNoeM )  <->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
) )
8 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( W  ^s  a
)  =  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) ) )
98eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( W  ^s  a )  e. LNoeM  <->  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) )  e. LNoeM ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  a
)  e. LNoeM )  <->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  (
b  u.  { c } ) )  e. LNoeM
) ) )
11 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  ( W  ^s  a )  =  ( W  ^s  I ) )
1211eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( W  ^s  a )  e. LNoeM 
<->  ( W  ^s  I )  e. LNoeM ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  a )  e. LNoeM )  <->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  I )  e. LNoeM )
) )
14 lnmlmod 26847 . . . . 5  |-  ( W  e. LNoeM  ->  W  e.  LMod )
15 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( W  ^s  (/) )  =  ( W  ^s  (/) )
1615pwslnmlem0 26863 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( W  ^s  (/) )  e. LNoeM )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  (/) )  e. LNoeM
)
18 vex 2903 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
19 snex 4347 . . . . . . 7  |-  { c }  e.  _V
20 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( W  ^s  b )  =  ( W  ^s  b )
21 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( W  ^s  { c } )  =  ( W  ^s  {
c } )
22 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) )  =  ( W  ^s  (
b  u.  { c } ) )
2314ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( W  e. LNoeM  /\  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
)  ->  W  e.  LMod )
24 disjsn 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  i^i  { c } )  =  (/)  <->  -.  c  e.  b )
2524biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  c  e.  b  -> 
( b  i^i  {
c } )  =  (/) )
2625ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( W  e. LNoeM  /\  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
)  ->  ( b  i^i  { c } )  =  (/) )
27 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( W  e. LNoeM  /\  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
)  ->  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
2821pwslnmlem1 26864 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  {
c } )  e. LNoeM
)
2928ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( W  e. LNoeM  /\  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
)  ->  ( W  ^s  { c } )  e. LNoeM )
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29pwslnmlem2 26865 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( W  e. LNoeM  /\  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )
)  ->  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) )  e. LNoeM )
3130exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( W  e. LNoeM  ->  ( ( W  ^s  b )  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) )  e. LNoeM ) ) )
3231a2d 24 . . . 4  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  b )  e. LNoeM )  ->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  ( b  u.  {
c } ) )  e. LNoeM ) ) )
334, 7, 10, 13, 17, 32findcard2s 7286 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( W  e. LNoeM  ->  ( W  ^s  I )  e. LNoeM )
)
3433impcom 420 . 2  |-  ( ( W  e. LNoeM  /\  I  e. 
Fin )  ->  ( W  ^s  I )  e. LNoeM )
351, 34syl5eqel 2472 1  |-  ( ( W  e. LNoeM  /\  I  e. 
Fin )  ->  Y  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3262    i^i cin 3263   (/)c0 3572   {csn 3758  (class class class)co 6021   Fincfn 7046    ^s cpws 13598   LModclmod 15878  LNoeMclnm 26843
This theorem is referenced by:  lnrfrlm  26992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-hom 13481  df-cco 13482  df-prds 13599  df-pws 13601  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lmhm 16026  df-lmim 16027  df-lmic 16028  df-lfig 26836  df-lnm 26844
  Copyright terms: Public domain W3C validator