Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem pwslnmlem2 27172
 Description: A sum of powers is Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwslnmlem2.a
pwslnmlem2.b
pwslnmlem2.x s
pwslnmlem2.y s
pwslnmlem2.z s
pwslnmlem2.w
pwslnmlem2.dj
pwslnmlem2.xn LNoeM
pwslnmlem2.yn LNoeM
Assertion
Ref Expression
pwslnmlem2 LNoeM

Proof of Theorem pwslnmlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnmlem2.w . . 3
2 pwslnmlem2.a . . . . 5
3 pwslnmlem2.b . . . . 5
42, 3unex 4707 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 ssun1 3510 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 pwslnmlem2.z . . . 4 s
9 pwslnmlem2.x . . . 4 s
10 eqid 2436 . . . 4
11 eqid 2436 . . . 4
12 eqid 2436 . . . 4
138, 9, 10, 11, 12pwssplit3 27167 . . 3 LMHom
141, 5, 7, 13syl3anc 1184 . 2 LMHom
15 fvex 5742 . . . . . 6
1612mptiniseg 5364 . . . . . 6
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5
18 lmodgrp 15957 . . . . . . . . . 10
19 grpmnd 14817 . . . . . . . . . 10
201, 18, 193syl 19 . . . . . . . . 9
21 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
229, 21pws0g 14731 . . . . . . . . 9
2320, 2, 22sylancl 644 . . . . . . . 8
2423eqcomd 2441 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2447 . . . . . 6
2625rabbidv 2948 . . . . 5
2717, 26syl5eq 2480 . . . 4
2827oveq2d 6097 . . 3 s s
29 pwslnmlem2.yn . . . 4 LNoeM
30 pwslnmlem2.dj . . . . . 6
31 eqid 2436 . . . . . . 7
32 eqid 2436 . . . . . . 7
33 pwslnmlem2.y . . . . . . 7 s
34 eqid 2436 . . . . . . 7 s s
358, 10, 21, 31, 32, 9, 33, 34pwssplit4 27168 . . . . . 6 s LMIso
361, 5, 30, 35syl3anc 1184 . . . . 5 s LMIso
37 brlmici 16141 . . . . 5 s LMIso s 𝑚
38 lnmlmic 27163 . . . . 5 s 𝑚 s LNoeM LNoeM
3936, 37, 383syl 19 . . . 4 s LNoeM LNoeM
4029, 39mpbird 224 . . 3 s LNoeM
4128, 40eqeltrd 2510 . 2 s LNoeM
428, 9, 10, 11, 12pwssplit1 27165 . . . . . . 7
4320, 5, 7, 42syl3anc 1184 . . . . . 6
44 forn 5656 . . . . . 6
4543, 44syl 16 . . . . 5
4645oveq2d 6097 . . . 4 s s
47 pwslnmlem2.xn . . . . 5 LNoeM
4811ressid 13524 . . . . 5 LNoeM s
4947, 48syl 16 . . . 4 s
5046, 49eqtrd 2468 . . 3 s
5150, 47eqeltrd 2510 . 2 s LNoeM
52 eqid 2436 . . 3
53 eqid 2436 . . 3
54 eqid 2436 . . 3 s s
55 eqid 2436 . . 3 s s
5652, 53, 54, 55lmhmlnmsplit 27162 . 2 LMHom s LNoeM s LNoeM LNoeM
5714, 41, 51, 56syl3anc 1184 1 LNoeM
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879   cres 4880  cima 4881  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   ↾s cress 13470   s cpws 13670  c0g 13723  cmnd 14684  cgrp 14685  clmod 15950   LMHom clmhm 16095   LMIso clmim 16096   𝑚 clmic 16097  LNoeMclnm 27150 This theorem is referenced by:  pwslnm  27173 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lmhm 16098  df-lmim 16099  df-lmic 16100  df-lfig 27143  df-lnm 27151
 Copyright terms: Public domain W3C validator