Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Unicode version

Theorem pwsmgp 15726
 Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y s
pwsmgp.m mulGrp
pwsmgp.z s
pwsmgp.n mulGrp
pwsmgp.b
pwsmgp.c
pwsmgp.p
pwsmgp.q
Assertion
Ref Expression
pwsmgp

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6 Scalars Scalars
2 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrpScalars mulGrpScalars
3 eqid 2438 . . . . . 6 ScalarsmulGrp ScalarsmulGrp
4 simpr 449 . . . . . 6
5 fvex 5744 . . . . . . 7 Scalar
65a1i 11 . . . . . 6 Scalar
7 fnconstg 5633 . . . . . . 7
87adantr 453 . . . . . 6
91, 2, 3, 4, 6, 8prdsmgp 15718 . . . . 5 mulGrpScalars ScalarsmulGrp mulGrpScalars ScalarsmulGrp
109simpld 447 . . . 4 mulGrpScalars ScalarsmulGrp
11 pwsmgp.n . . . . . 6 mulGrp
12 pwsmgp.y . . . . . . . 8 s
13 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1412, 13pwsval 13710 . . . . . . 7 Scalars
1514fveq2d 5734 . . . . . 6 mulGrp mulGrpScalars
1611, 15syl5eq 2482 . . . . 5 mulGrpScalars
1716fveq2d 5734 . . . 4 mulGrpScalars
18 pwsmgp.z . . . . . 6 s
19 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 mulGrp
20 fvex 5744 . . . . . . . . 9 mulGrp
2119, 20eqeltri 2508 . . . . . . . 8
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2422, 23pwsval 13710 . . . . . . . 8 s Scalars
2521, 4, 24sylancr 646 . . . . . . 7 s Scalars
2619, 13mgpsca 15657 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2726eqcomi 2442 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2827a1i 11 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
29 fnmgp 15652 . . . . . . . . . 10 mulGrp
30 elex 2966 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 453 . . . . . . . . . 10
32 fcoconst 5907 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp mulGrp
3329, 31, 32sylancr 646 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
3419sneqi 3828 . . . . . . . . . 10 mulGrp
3534xpeq2i 4901 . . . . . . . . 9 mulGrp
3633, 35syl6reqr 2489 . . . . . . . 8 mulGrp
3728, 36oveq12d 6101 . . . . . . 7 Scalars ScalarsmulGrp
3825, 37eqtrd 2470 . . . . . 6 s ScalarsmulGrp
3918, 38syl5eq 2482 . . . . 5 ScalarsmulGrp
4039fveq2d 5734 . . . 4 ScalarsmulGrp
4110, 17, 403eqtr4d 2480 . . 3
42 pwsmgp.b . . 3
43 pwsmgp.c . . 3
4441, 42, 433eqtr4g 2495 . 2
459simprd 451 . . . 4 mulGrpScalars ScalarsmulGrp
4616fveq2d 5734 . . . 4 mulGrpScalars
4739fveq2d 5734 . . . 4 ScalarsmulGrp
4845, 46, 473eqtr4d 2480 . . 3
49 pwsmgp.p . . 3
50 pwsmgp.q . . 3
5148, 49, 503eqtr4g 2495 . 2
5244, 51jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cxp 4878   ccom 4884   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  Scalarcsca 13534  scprds 13671   s cpws 13672  mulGrpcmgp 15650 This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  15835  pwsco2rhm  15836  pwsdiagrhm  15903  evl1expd  19960 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-mgp 15651
 Copyright terms: Public domain W3C validator