MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulg 14932
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsinvg.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsmulg.s  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
pwsmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
Assertion
Ref Expression
pwsmulg  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  R  e.  Mnd )
2 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
3 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  A  e.  I )
4 pwsgrp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
5 pwsinvg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
64, 5pwspjmhm 14767 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
8 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  X  e.  B )
10 pwsmulg.s . . . 4  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
11 pwsmulg.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
125, 10, 11mhmmulg 14922 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
137, 8, 9, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
144pwsmnd 14730 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  Y  e.  Mnd )
165, 10mulgnn0cl 14906 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
1715, 8, 9, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
18 fveq1 5727 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  .xb  X )  ->  (
x `  A )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
19 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
20 fvex 5742 . . . 4  |-  ( ( N  .xb  X ) `  A )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5806 . . 3  |-  ( ( N  .xb  X )  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( N 
.xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
2217, 21syl 16 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
23 fveq1 5727 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  A )  =  ( X `  A ) )
24 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( X `
 A )  e. 
_V
2523, 19, 24fvmpt 5806 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
269, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
2726oveq2d 6097 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 X ) )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
2813, 22, 273eqtr3d 2476 1  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   NN0cn0 10221   Basecbs 13469    ^s cpws 13670   Mndcmnd 14684  .gcmg 14689   MndHom cmhm 14736
This theorem is referenced by:  evl1expd  19958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-mulg 14815
  Copyright terms: Public domain W3C validator