Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulrval 13718
 Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y s
pwsplusgval.b
pwsplusgval.r
pwsplusgval.i
pwsplusgval.f
pwsplusgval.g
pwsmulrval.a
pwsmulrval.p
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
2 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
3 fvex 5745 . . . . 5 Scalar
43a1i 11 . . . 4 Scalar
5 pwsplusgval.i . . . 4
6 pwsplusgval.r . . . . 5
7 fnconstg 5634 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 pwsplusgval.f . . . . 5
10 pwsplusgval.b . . . . . 6
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 s
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1311, 12pwsval 13713 . . . . . . . 8 Scalars
146, 5, 13syl2anc 644 . . . . . . 7 Scalars
1514fveq2d 5735 . . . . . 6 Scalars
1610, 15syl5eq 2482 . . . . 5 Scalars
179, 16eleqtrd 2514 . . . 4 Scalars
18 pwsplusgval.g . . . . 5
1918, 16eleqtrd 2514 . . . 4 Scalars
20 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsmulrval 13702 . . 3 Scalars
22 fvconst2g 5948 . . . . . . . 8
236, 22sylan 459 . . . . . . 7
2423fveq2d 5735 . . . . . 6
25 pwsmulrval.a . . . . . 6
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . 5
2726oveqd 6101 . . . 4
2827mpteq2dva 4298 . . 3
2921, 28eqtrd 2470 . 2 Scalars
30 pwsmulrval.p . . . 4
3114fveq2d 5735 . . . 4 Scalars
3230, 31syl5eq 2482 . . 3 Scalars
3332oveqd 6101 . 2 Scalars
34 fvex 5745 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 fvex 5745 . . . 4
3736a1i 11 . . 3
38 eqid 2438 . . . . 5
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 13716 . . . 4
4039feqmptd 5782 . . 3
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 13716 . . . 4
4241feqmptd 5782 . . 3
435, 35, 37, 40, 42offval2 6325 . 2
4429, 33, 433eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cmpt 4269   cxp 4879   wfn 5452  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cbs 13474  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  scprds 13674   s cpws 13675 This theorem is referenced by:  evl1muld  19961  mpfmulcl  19969  mpfind  19970  pf1mulcl  19979  ply1rem  20091  fta1glem2  20094  fta1blem  20096  plypf1  20136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678
 Copyright terms: Public domain W3C validator