MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulrval 13718
Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
pwsmulrval.a  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pwsmulrval.p  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F  o F  .x.  G
) )

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 fvex 5745 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 pwsplusgval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 pwsplusgval.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
7 fnconstg 5634 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
I  X.  { R } )  Fn  I
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { R } )  Fn  I
)
9 pwsplusgval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
10 pwsplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 13713 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
146, 5, 13syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
179, 16eleqtrd 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
18 pwsplusgval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1918, 16eleqtrd 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( .r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsmulrval 13702 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( .r `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) ) ) )
22 fvconst2g 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
236, 22sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
2423fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( .r
`  R ) )
25 pwsmulrval.a . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  .x.  )
2726oveqd 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) )
2827mpteq2dva 4298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r
`  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
) ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  x ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .x.  ( G `  x ) ) ) )
30 pwsmulrval.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
3114fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  Y
)  =  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3230, 31syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3332oveqd 6101 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F ( .r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G ) )
34 fvex 5745 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
36 fvex 5745 . . . 4  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
38 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 13716 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
4039feqmptd 5782 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 13716 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
4241feqmptd 5782 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
435, 35, 37, 40, 42offval2 6325 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.x.  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )
4429, 33, 433eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F  o F  .x.  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    e. cmpt 4269    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   Basecbs 13474   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   X_scprds 13674    ^s cpws 13675
This theorem is referenced by:  evl1muld  19961  mpfmulcl  19969  mpfind  19970  pf1mulcl  19979  ply1rem  20091  fta1glem2  20094  fta1blem  20096  plypf1  20136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678
  Copyright terms: Public domain W3C validator