MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Unicode version

Theorem pwspjmhm 14460
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, I    x, R    x, V
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 pwspjmhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2 pwspjmhm.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
3 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
42, 3pwsval 13401 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
543adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
65fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
71, 6syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
8 mpteq1 4116 . . . 4  |-  ( B  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  =  ( x  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) ) )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) ) )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
12 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
13 fvex 5555 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
15 fconst6g 5446 . . . . 5  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
16153ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
17 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
1810, 11, 12, 14, 16, 17prdspjmhm 14459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) )  e.  ( ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
199, 18eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
20 fvconst2g 5743 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
21203adant2 974 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
2221eqcomd 2301 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  R  =  ( ( I  X.  { R } ) `  A
) )
235, 22oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Y MndHom  R )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
2419, 23eleqtrrd 2373 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   X_scprds 13362    ^s cpws 13363   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429
This theorem is referenced by:  pwsmulg  14625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431
  Copyright terms: Public domain W3C validator