Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem pwsplusgval 13714
 Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y s
pwsplusgval.b
pwsplusgval.r
pwsplusgval.i
pwsplusgval.f
pwsplusgval.g
pwsplusgval.a
pwsplusgval.p
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
2 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
3 fvex 5744 . . . . 5 Scalar
43a1i 11 . . . 4 Scalar
5 pwsplusgval.i . . . 4
6 pwsplusgval.r . . . . 5
7 fnconstg 5633 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 pwsplusgval.f . . . . 5
10 pwsplusgval.b . . . . . 6
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 s
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1311, 12pwsval 13710 . . . . . . . 8 Scalars
146, 5, 13syl2anc 644 . . . . . . 7 Scalars
1514fveq2d 5734 . . . . . 6 Scalars
1610, 15syl5eq 2482 . . . . 5 Scalars
179, 16eleqtrd 2514 . . . 4 Scalars
18 pwsplusgval.g . . . . 5
1918, 16eleqtrd 2514 . . . 4 Scalars
20 eqid 2438 . . . 4 Scalars Scalars
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsplusgval 13697 . . 3 Scalars
22 fvconst2g 5947 . . . . . . . 8
236, 22sylan 459 . . . . . . 7
2423fveq2d 5734 . . . . . 6
25 pwsplusgval.a . . . . . 6
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . 5
2726oveqd 6100 . . . 4
2827mpteq2dva 4297 . . 3
2921, 28eqtrd 2470 . 2 Scalars
30 pwsplusgval.p . . . 4
3114fveq2d 5734 . . . 4 Scalars
3230, 31syl5eq 2482 . . 3 Scalars
3332oveqd 6100 . 2 Scalars
34 fvex 5744 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 fvex 5744 . . . 4
3736a1i 11 . . 3
38 eqid 2438 . . . . 5
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 13713 . . . 4
4039feqmptd 5781 . . 3
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 13713 . . . 4
4241feqmptd 5781 . . 3
435, 35, 37, 40, 42offval2 6324 . 2
4429, 33, 433eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cmpt 4268   cxp 4878   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cbs 13471   cplusg 13531  Scalarcsca 13534  scprds 13671   s cpws 13672 This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  14770  pwsco1mhm  14771  pwsco2mhm  14772  pwssub  14933  evl1addd  19956  mpfaddcl  19965  mpfind  19967  pf1addcl  19975  ply1rem  20088  pwssplit2  27168  frlmplusgval  27208 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675
 Copyright terms: Public domain W3C validator