MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem pwsplusgval 13714
Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
pwsplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pwsplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 fvex 5744 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 pwsplusgval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 pwsplusgval.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
7 fnconstg 5633 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
I  X.  { R } )  Fn  I
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { R } )  Fn  I
)
9 pwsplusgval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
10 pwsplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 13710 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
146, 5, 13syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
179, 16eleqtrd 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
18 pwsplusgval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1918, 16eleqtrd 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsplusgval 13697 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) ) ) )
22 fvconst2g 5947 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
236, 22sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
2423fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( +g  `  R ) )
25 pwsplusgval.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  .+  )
2726oveqd 6100 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
2827mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
30 pwsplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
3114fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3230, 31syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3332oveqd 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G ) )
34 fvex 5744 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
36 fvex 5744 . . . 4  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
38 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 13713 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
4039feqmptd 5781 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 13713 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
4241feqmptd 5781 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
435, 35, 37, 40, 42offval2 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.+  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) ) )
4429, 33, 433eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    e. cmpt 4268    X. cxp 4878    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   Basecbs 13471   +g cplusg 13531  Scalarcsca 13534   X_scprds 13671    ^s cpws 13672
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  14770  pwsco1mhm  14771  pwsco2mhm  14772  pwssub  14933  evl1addd  19956  mpfaddcl  19965  mpfind  19967  pf1addcl  19975  ply1rem  20088  pwssplit2  27168  frlmplusgval  27208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675
  Copyright terms: Public domain W3C validator