MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssnf1o Structured version   Unicode version

Theorem pwssnf1o 13712
Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssnf1o.y  |-  Y  =  ( R  ^s  { I } )
pwssnf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwssnf1o.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( { I }  X.  { x } ) )
pwssnf1o.c  |-  C  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
pwssnf1o  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, R    x, I    x, B    x, C    x, W
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem pwssnf1o
StepHypRef Expression
1 pwssnf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
31, 2eqeltri 2505 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  I  e.  W )
5 pwssnf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( { I }  X.  { x } ) )
65mapsnf1o 7095 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  { I }
) )
73, 4, 6sylancr 645 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  { I }
) )
8 snex 4397 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
9 pwssnf1o.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R  ^s  { I } )
109, 1pwsbas 13701 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  { I }  e.  _V )  ->  ( B  ^m  { I } )  =  ( Base `  Y
) )
118, 10mpan2 653 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( B  ^m  { I }
)  =  ( Base `  Y ) )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( B  ^m  {
I } )  =  ( Base `  Y
) )
13 pwssnf1o.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  Y
)
1412, 13syl6reqr 2486 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  C  =  ( B  ^m  { I }
) )
15 f1oeq3 5659 . . 3  |-  ( C  =  ( B  ^m  { I } )  -> 
( F : B -1-1-onto-> C  <->  F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  {
I } ) ) )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  {
I } ) ) )
177, 16mpbird 224 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Basecbs 13461    ^s cpws 13662
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665
  Copyright terms: Public domain W3C validator