Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssplit1 Unicode version

Theorem pwssplit1 27291
 Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y s
pwssplit1.z s
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 s
2 pwssplit1.z . . 3 s
3 pwssplit1.b . . 3
4 pwssplit1.c . . 3
5 pwssplit1.f . . 3
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 27290 . 2
7 simp1 955 . . . . . . . . 9
8 simp3 957 . . . . . . . . . 10
9 simp2 956 . . . . . . . . . 10
10 ssexg 4176 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . 9
12 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
132, 12, 4pwselbasb 13403 . . . . . . . . 9
147, 11, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8
1514biimpa 470 . . . . . . 7
16 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
1716fconst 5443 . . . . . . . . 9
1817a1i 10 . . . . . . . 8
19 simpl1 958 . . . . . . . . . 10
20 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
2112, 20mndidcl 14407 . . . . . . . . . 10
2219, 21syl 15 . . . . . . . . 9
2322snssd 3776 . . . . . . . 8
24 fss 5413 . . . . . . . 8
2518, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . 7
26 disjdif 3539 . . . . . . . 8
2726a1i 10 . . . . . . 7
28 fun 5421 . . . . . . 7
2915, 25, 27, 28syl21anc 1181 . . . . . 6
30 simpl3 960 . . . . . . . 8
31 undif 3547 . . . . . . . 8
3230, 31sylib 188 . . . . . . 7
33 unidm 3331 . . . . . . . 8
3433a1i 10 . . . . . . 7
3532, 34feq23d 5402 . . . . . 6
3629, 35mpbid 201 . . . . 5
37 simpl2 959 . . . . . 6
381, 12, 3pwselbasb 13403 . . . . . 6
3919, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5
4036, 39mpbird 223 . . . 4
415fvtresfn 26866 . . . . . 6
4240, 41syl 15 . . . . 5
43 resundir 4986 . . . . . . 7
44 ffn 5405 . . . . . . . . 9
45 fnresdm 5369 . . . . . . . . 9
4615, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8
47 incom 3374 . . . . . . . . . 10
4847, 26eqtri 2316 . . . . . . . . 9
49 fnconstg 5445 . . . . . . . . . . 11
5016, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
51 fnresdisj 5370 . . . . . . . . . 10
5250, 51mp1i 11 . . . . . . . . 9
5348, 52mpbii 202 . . . . . . . 8
5446, 53uneq12d 3343 . . . . . . 7
5543, 54syl5eq 2340 . . . . . 6
56 un0 3492 . . . . . 6
5755, 56syl6eq 2344 . . . . 5
5842, 57eqtr2d 2329 . . . 4
59 fveq2 5541 . . . . . 6
6059eqeq2d 2307 . . . . 5
6160rspcev 2897 . . . 4
6240, 58, 61syl2anc 642 . . 3
6362ralrimiva 2639 . 2
64 dffo3 5691 . 2
656, 63, 64sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  csn 3653   cmpt 4093   cxp 4703   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   s cpws 13363  c0g 13416  cmnd 14377 This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  27298 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-mnd 14383
 Copyright terms: Public domain W3C validator