Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssplit3 Unicode version

Theorem pwssplit3 26602
 Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y s
pwssplit1.z s
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2
2 eqid 2283 . 2
3 eqid 2283 . 2
4 eqid 2283 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2283 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2283 . 2 Scalar Scalar
7 simp1 955 . . 3
8 simp2 956 . . 3
9 pwssplit1.y . . . 4 s
109pwslmod 15727 . . 3
117, 8, 10syl2anc 642 . 2
12 simp3 957 . . . 4
13 ssexg 4160 . . . 4
1412, 8, 13syl2anc 642 . . 3
15 pwssplit1.z . . . 4 s
1615pwslmod 15727 . . 3
177, 14, 16syl2anc 642 . 2
18 eqid 2283 . . . . 5 Scalar Scalar
1915, 18pwssca 13395 . . . 4 Scalar Scalar
207, 14, 19syl2anc 642 . . 3 Scalar Scalar
219, 18pwssca 13395 . . . 4 Scalar Scalar
227, 8, 21syl2anc 642 . . 3 Scalar Scalar
2320, 22eqtr3d 2317 . 2 Scalar Scalar
24 lmodgrp 15634 . . 3
25 pwssplit1.c . . . 4
26 pwssplit1.f . . . 4
279, 15, 1, 25, 26pwssplit2 26601 . . 3
2824, 27syl3an1 1215 . 2
29 snex 4216 . . . . . . . 8
30 xpexg 4800 . . . . . . . 8
318, 29, 30sylancl 643 . . . . . . 7
32 vex 2791 . . . . . . 7
33 offres 6092 . . . . . . 7
3431, 32, 33sylancl 643 . . . . . 6
3534adantr 451 . . . . 5 Scalar
36 xpssres 4989 . . . . . . . 8
37363ad2ant3 978 . . . . . . 7
3837adantr 451 . . . . . 6 Scalar
3938oveq1d 5873 . . . . 5 Scalar
4035, 39eqtrd 2315 . . . 4 Scalar
41 eqid 2283 . . . . . 6
42 eqid 2283 . . . . . 6 Scalar Scalar
43 simpl1 958 . . . . . 6 Scalar
44 simpl2 959 . . . . . 6 Scalar
4522fveq2d 5529 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4645eleq2d 2350 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4746biimpar 471 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4847adantrr 697 . . . . . 6 Scalar Scalar
49 simprr 733 . . . . . 6 Scalar
509, 1, 41, 2, 18, 42, 43, 44, 48, 49pwsvscafval 13393 . . . . 5 Scalar
5150reseq1d 4954 . . . 4 Scalar
5226fvtresfn 26175 . . . . . 6
5352ad2antll 709 . . . . 5 Scalar
5453oveq2d 5874 . . . 4 Scalar
5540, 51, 543eqtr4d 2325 . . 3 Scalar
561, 4, 2, 6lmodvscl 15644 . . . . . 6 Scalar
57563expb 1152 . . . . 5 Scalar
5811, 57sylan 457 . . . 4 Scalar
5926fvtresfn 26175 . . . 4
6058, 59syl 15 . . 3 Scalar
6114adantr 451 . . . 4 Scalar
629, 15, 1, 25, 26pwssplit0 26599 . . . . . 6
63 ffvelrn 5663 . . . . . 6
6462, 63sylan 457 . . . . 5
6564adantrl 696 . . . 4 Scalar
6615, 25, 41, 3, 18, 42, 43, 61, 48, 65pwsvscafval 13393 . . 3 Scalar
6755, 60, 663eqtr4d 2325 . 2 Scalar
681, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 17, 23, 28, 67islmhmd 15796 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076  cbs 13148  Scalarcsca 13211  cvsca 13212   s cpws 13347  cgrp 14362   cghm 14680  clmod 15627   LMHom clmhm 15776 This theorem is referenced by:  pwssplit4  26603  pwslnmlem2  26607  frlmsplit2  26655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779
 Copyright terms: Public domain W3C validator