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Theorem pwssplit4 27159
Description: Splitting for structure powers 4: maps isomorphically onto the other half. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit4.e  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
pwssplit4.g  |-  G  =  ( Base `  E
)
pwssplit4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
pwssplit4.k  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
pwssplit4.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
pwssplit4.c  |-  C  =  ( R  ^s  A )
pwssplit4.d  |-  D  =  ( R  ^s  B )
pwssplit4.l  |-  L  =  ( Es  K )
Assertion
Ref Expression
pwssplit4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, E, y    x, G, y    x, K    x, L    x, R, y    x, V, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    K( y)    L( y)

Proof of Theorem pwssplit4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit4.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
2 pwssplit4.k . . . . . 6  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
3 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) } 
C_  G
42, 3eqsstri 3370 . . . . 5  |-  K  C_  G
5 resmpt 5183 . . . . 5  |-  ( K 
C_  G  ->  (
( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
71, 6eqtr4i 2458 . . 3  |-  F  =  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )
8 ssun2 3503 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  C_  ( A  u.  B
) )
10 pwssplit4.e . . . . . 6  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
11 pwssplit4.d . . . . . 6  |-  D  =  ( R  ^s  B )
12 pwssplit4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( Base `  E
)
13 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
14 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )
1510, 11, 12, 13, 14pwssplit3 27158 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  B  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  e.  ( E LMHom 
D ) )
169, 15syld3an3 1229 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom  D ) )
17 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
LMod )
18 lmodgrp 15949 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
19 grpmnd 14809 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  R  e.  Mnd )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
Mnd )
21 ssun1 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
22 ssexg 4341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2321, 22mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  A  e.  _V )
24233ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
_V )
25 pwssplit4.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( R  ^s  A )
26 pwssplit4.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2725, 26pws0g 14723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  C ) )
2820, 24, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  C ) )
2928eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) ) )
3029rabbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
312, 30syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  C_  ( A  u.  B
) )
33 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
34 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  =  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )
3510, 25, 12, 33, 34pwssplit3 27158 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  A  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C ) )
3632, 35syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  e.  ( E LMHom  C ) )
37 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
3834mptiniseg 5356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  C )  e.  _V  ->  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  {
y  e.  G  | 
( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }
4039eqcomi 2439 . . . . . . 7  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  =  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )
41 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
42 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  E )  =  (
LSubSp `  E )
4340, 41, 42lmhmkerlss 16119 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4436, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4531, 44eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  ( LSubSp `  E )
)
46 pwssplit4.l . . . . 5  |-  L  =  ( Es  K )
4742, 46reslmhm 16120 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom 
D )  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  ( (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
4816, 45, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
497, 48syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMHom  D ) )
501fvtresfn 26735 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  K  ->  ( F `  a )  =  ( a  |`  B ) )
51 ssexg 4341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  B  e.  _V )
528, 51mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  B  e.  _V )
53523ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
_V )
5411, 26pws0g 14723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  _V )  ->  ( B  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  D ) )
5520, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  D ) )
5655eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  D )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )
5750, 56eqeqan12rd 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  <->  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )
58 reseq1 5132 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
y  |`  A )  =  ( a  |`  A ) )
5958eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
6059, 2elrab2 3086 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  K  <->  ( a  e.  G  /\  (
a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
61 uneq12 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  A )  u.  (
a  |`  B ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) ) )
62 resundi 5152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( a  |`  A )  u.  ( a  |`  B ) )
63 xpundir 4923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) )
6461, 62, 633eqtr4g 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  X.  {  .0.  } ) )
6564adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } ) )
6665adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
) )
67 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
68 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  ->  R  e.  LMod )
69 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  V )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  V )
71 simprll 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  e.  G )
7210, 67, 12, 68, 70, 71pwselbas 13703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a : ( A  u.  B ) --> (
Base `  R )
)
73 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  ( A  u.  B
) )
74 fnresdm 5546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  a )
7572, 73, 743syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  a )
7610, 26pws0g 14723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( A  u.  B
)  e.  V )  ->  ( ( A  u.  B )  X. 
{  .0.  } )  =  ( 0g `  E ) )
7720, 69, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  E ) )
7810pwslmod 16038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  E  e.  LMod )
79783adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  E  e. 
LMod )
8042lsssubg 16025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  LMod  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  E ) )
8179, 45, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  (SubGrp `  E )
)
82 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  E
)
8346, 82subg0 14942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (SubGrp `  E
)  ->  ( 0g `  E )  =  ( 0g `  L ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  L
) )
8577, 84eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  L ) )
8685adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  L ) )
8766, 75, 863eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )
8887exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
8960, 88syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  K  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
9089imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9157, 90sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9291ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
93 lmghm 16099 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F  e.  ( L  GrpHom  D ) )
9446, 12ressbas2 13512 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  G  ->  K  =  ( Base `  L
) )
954, 94ax-mp 8 . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  L
)
96 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
97 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
9895, 13, 96, 97ghmf1 15026 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L  GrpHom  D )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
9949, 93, 983syl 19 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D )  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
10092, 99mpbird 224 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K -1-1-> ( Base `  D
) )
101 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
102101, 13lmhmf 16102 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F :
( Base `  L ) --> ( Base `  D )
)
103 frn 5589 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  L
) --> ( Base `  D
)  ->  ran  F  C_  ( Base `  D )
)
10449, 102, 1033syl 19 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  D
) )
10511, 67, 13pwselbasb 13702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  B  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Base `  D )  <->  a : B
--> ( Base `  R
) ) )
10617, 53, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  <->  a : B --> ( Base `  R )
) )
107106biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a : B --> ( Base `  R
) )
108 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
10926, 108eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  e.  _V
110109fconst 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  }
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  } )
11220adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
11367, 26mndidcl 14706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
115114snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  {  .0.  } 
C_  ( Base `  R
) )
116 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> {  .0.  }  /\  {  .0.  }  C_  ( Base `  R ) )  -> 
( A  X.  {  .0.  } ) : A --> ( Base `  R )
)
117111, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> ( Base `  R ) )
118 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
119 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
120118, 119syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
122 fun 5599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a : B --> ( Base `  R )  /\  ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> ( Base `  R )
)  /\  ( B  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( B  u.  A
) --> ( ( Base `  R )  u.  ( Base `  R ) ) )
123107, 117, 121, 122syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) ) )
124 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
125 unidm 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base `  R )  u.  ( Base `  R
) )  =  (
Base `  R )
126124, 125feq23i 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) )  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( A  u.  B
) --> ( Base `  R
) )
127123, 126sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) )
12810, 67, 12pwselbasb 13702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
1291283adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
131127, 130mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G
)
132 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
133118, 132syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
134 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a : B --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  B )
135 fnresdisj 5547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  Fn  B  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
136107, 134, 1353syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
137133, 136mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  A )  =  (/) )
138 fnconstg 5623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  Fn  A )
139 fnresdm 5546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
140109, 138, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
142137, 141uneq12d 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  A )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  A ) )  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )
143 resundir 5153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( ( a  |`  A )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A ) )
144 uncom 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )
145 un0 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
146144, 145eqtr2i 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )
147142, 143, 1463eqtr4g 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
148 reseq1 5132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( y  |`  A )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A ) )
149148eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
150149, 2elrab2 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
151131, 147, 150sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)
152 resexg 5177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  e.  _V )
154 reseq1 5132 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( x  |`  B )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
155154, 1fvmptg 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
156151, 153, 155syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
157 resundir 5153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  ( ( a  |`  B )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B ) )
158 fnresdm 5546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  Fn  B  ->  (
a  |`  B )  =  a )
159107, 134, 1583syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  B )  =  a )
160 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> {  .0.  }  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A )
161 fnresdisj 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) ) )
162110, 160, 161mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) )
163162biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
1641633ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
166159, 165uneq12d 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  ( a  u.  (/) ) )
167 un0 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  u.  (/) )  =  a
168166, 167syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  a )
169157, 168syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  a )
170156, 169eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  a )
17195, 13lmhmf 16102 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F : K
--> ( Base `  D
) )
172 ffn 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : K --> ( Base `  D )  ->  F  Fn  K )
17349, 171, 1723syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  Fn  K )
174173adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  Fn  K )
175 fnfvelrn 5859 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  K  /\  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  e. 
ran  F )
176174, 151, 175syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  e.  ran  F )
177170, 176eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a  e.  ran  F )
178177ex 424 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  ->  a  e.  ran  F ) )
179178ssrdv 3346 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( Base `  D )  C_  ran  F )
180104, 179eqssd 3357 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  =  ( Base `  D
) )
181 dff1o5 5675 . . 3  |-  ( F : K -1-1-onto-> ( Base `  D
)  <->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  /\  ran  F  =  ( Base `  D
) ) )
182100, 180, 181sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K
-1-1-onto-> ( Base `  D )
)
18395, 13islmim 16126 . 2  |-  ( F  e.  ( L LMIso  D
)  <->  ( F  e.  ( L LMHom  D )  /\  F : K -1-1-onto-> ( Base `  D ) ) )
18449, 182, 183sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462    ^s cpws 13662   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  SubGrpcsubg 14930    GrpHom cghm 14995   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LMHom clmhm 16087   LMIso clmim 16088
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  27163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090  df-lmim 16091
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