Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Unicode version

Theorem pwssub 14624
 Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y s
pwsinvg.b
pwssub.m
pwssub.n
Assertion
Ref Expression
pwssub

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . 4
2 pwsgrp.y . . . . . 6 s
3 eqid 2296 . . . . . 6
4 pwsinvg.b . . . . . 6
5 simpll 730 . . . . . 6
6 simprl 732 . . . . . 6
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 13404 . . . . 5
8 ffvelrn 5679 . . . . 5
97, 8sylan 457 . . . 4
10 fvex 5555 . . . . 5
1110a1i 10 . . . 4
127feqmptd 5591 . . . 4
13 simprr 733 . . . . . 6
14 eqid 2296 . . . . . . 7
15 eqid 2296 . . . . . . 7
162, 4, 14, 15pwsinvg 14623 . . . . . 6
175, 1, 13, 16syl3anc 1182 . . . . 5
182, 3, 4, 5, 1, 13pwselbas 13404 . . . . . . 7
19 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
2018, 19sylan 457 . . . . . 6
2118feqmptd 5591 . . . . . 6
223, 14grpinvf 14542 . . . . . . . 8
2322ad2antrr 706 . . . . . . 7
2423feqmptd 5591 . . . . . 6
25 fveq2 5541 . . . . . 6
2620, 21, 24, 25fmptco 5707 . . . . 5
2717, 26eqtrd 2328 . . . 4
281, 9, 11, 12, 27offval2 6111 . . 3
292pwsgrp 14622 . . . . . 6
3029adantr 451 . . . . 5
314, 15grpinvcl 14543 . . . . 5
3230, 13, 31syl2anc 642 . . . 4
33 eqid 2296 . . . 4
34 eqid 2296 . . . 4
352, 4, 5, 1, 6, 32, 33, 34pwsplusgval 13405 . . 3
36 pwssub.m . . . . . 6
373, 33, 14, 36grpsubval 14541 . . . . 5
389, 20, 37syl2anc 642 . . . 4
3938mpteq2dva 4122 . . 3
4028, 35, 393eqtr4d 2338 . 2
41 pwssub.n . . . 4
424, 34, 15, 41grpsubval 14541 . . 3
4342adantl 452 . 2
441, 9, 20, 12, 21offval2 6111 . 2
4540, 43, 443eqtr4d 2338 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cmpt 4093   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cbs 13164   cplusg 13224   s cpws 13363  cgrp 14378  cminusg 14379  csg 14381 This theorem is referenced by:  evl1subd  19434 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507
 Copyright terms: Public domain W3C validator