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Theorem pwssub 14608
Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsinvg.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwssub.m  |-  M  =  ( -g `  R
)
pwssub.n  |-  .-  =  ( -g `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwssub  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F  .-  G
)  =  ( F  o F M G ) )

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  I  e.  V )
2 pwsgrp.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 pwsinvg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  R  e.  Grp )
6 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 13388 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
8 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> ( Base `  R )  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  R
) )
97, 8sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  R
) )
10 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( ( inv g `  R
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( inv g `  R ) `  ( G `  x )
)  e.  _V )
127feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
13 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
14 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
162, 4, 14, 15pwsinvg 14607 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V  /\  G  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  =  ( ( inv g `  R
)  o.  G ) )
175, 1, 13, 16syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  Y ) `  G
)  =  ( ( inv g `  R
)  o.  G ) )
182, 3, 4, 5, 1, 13pwselbas 13388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
19 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : I --> ( Base `  R )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
2018, 19sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
2118feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
223, 14grpinvf 14526 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( inv g `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
2322ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( inv g `  R ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  R )
)
2423feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( inv g `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R )  |->  ( ( inv g `  R
) `  y )
) )
25 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( inv g `  R ) `  y
)  =  ( ( inv g `  R
) `  ( G `  x ) ) )
2620, 21, 24, 25fmptco 5691 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  R )  o.  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  R
) `  ( G `  x ) ) ) )
2717, 26eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  Y ) `  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  R
) `  ( G `  x ) ) ) )
281, 9, 11, 12, 27offval2 6095 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F  o F ( +g  `  R
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R ) `  ( G `  x )
) ) ) )
292pwsgrp 14606 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  Grp )
3029adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
314, 15grpinvcl 14527 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  G  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
3230, 13, 31syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
33 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
34 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
352, 4, 5, 1, 6, 32, 33, 34pwsplusgval 13389 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F ( +g  `  Y ) ( ( inv g `  Y
) `  G )
)  =  ( F  o F ( +g  `  R ) ( ( inv g `  Y
) `  G )
) )
36 pwssub.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -g `  R
)
373, 33, 14, 36grpsubval 14525 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  x
) M ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R ) `  ( G `  x )
) ) )
389, 20, 37syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) M ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R ) `  ( G `  x )
) ) )
3938mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) M ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 ( G `  x ) ) ) ) )
4028, 35, 393eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F ( +g  `  Y ) ( ( inv g `  Y
) `  G )
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) M ( G `  x ) ) ) )
41 pwssub.n . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  Y )
424, 34, 15, 41grpsubval 14525 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
4342adantl 452 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
441, 9, 20, 12, 21offval2 6095 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F  o F M G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) M ( G `  x ) ) ) )
4540, 43, 443eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  I  e.  V )  /\  ( F  e.  B  /\  G  e.  B ) )  -> 
( F  .-  G
)  =  ( F  o F M G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208    ^s cpws 13347   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365
This theorem is referenced by:  evl1subd  19418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491
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