MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwtp Structured version   Unicode version

Theorem pwtp 4014
Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
pwtp  |-  ~P { A ,  B ,  C }  =  (
( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )

Proof of Theorem pwtp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
21elpw 3807 . . 3  |-  ( x  e.  ~P { A ,  B ,  C }  <->  x 
C_  { A ,  B ,  C }
)
3 elun 3490 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
41elpr 3834 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } ) )
51elpr 3834 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B } ,  { A ,  B } }  <->  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )
64, 5orbi12i 509 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) ) )
73, 6bitri 242 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( (
x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) ) )
8 elun 3490 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )
91elpr 3834 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  <->  ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } ) )
101elpr 3834 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } }  <->  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) )
119, 10orbi12i 509 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
128, 11bitri 242 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
137, 12orbi12i 509 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )  \/  ( ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
14 elun 3490 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
15 sstp 3965 . . . 4  |-  ( x 
C_  { A ,  B ,  C }  <->  ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) )  \/  (
( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } )  \/  (
x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
1613, 14, 153bitr4ri 271 . . 3  |-  ( x 
C_  { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
172, 16bitri 242 . 2  |-  ( x  e.  ~P { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
1817eqriv 2435 1  |-  ~P { A ,  B ,  C }  =  (
( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 359    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818
This theorem is referenced by:  ex-pw  21739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824
  Copyright terms: Public domain W3C validator