Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwwf Structured version   Unicode version

Theorem pwwf 7735
 Description: A power set is well-founded iff the base set is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pwwf

Proof of Theorem pwwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 7732 . . . . . . 7
2 sspwb 4415 . . . . . . 7
31, 2sylib 190 . . . . . 6
4 rankdmr1 7729 . . . . . . 7
5 r1sucg 7697 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6
73, 6syl6sseqr 3397 . . . . 5
8 fvex 5744 . . . . . 6
98elpw2 4366 . . . . 5
107, 9sylibr 205 . . . 4
11 r1funlim 7694 . . . . . . . 8
1211simpri 450 . . . . . . 7
13 limsuc 4831 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 8 . . . . . 6
154, 14mpbi 201 . . . . 5
16 r1sucg 7697 . . . . 5
1715, 16ax-mp 8 . . . 4
1810, 17syl6eleqr 2529 . . 3
19 r1elwf 7724 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
21 r1elssi 7733 . . 3
22 elex 2966 . . . . 5
23 pwexb 4755 . . . . 5
2422, 23sylibr 205 . . . 4
25 pwidg 3813 . . . 4
2624, 25syl 16 . . 3
2721, 26sseldd 3351 . 2
2820, 27impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017  con0 4583   wlim 4584   csuc 4585   cdm 4880  cima 4883   wfun 5450  cfv 5456  cr1 7690  crnk 7691 This theorem is referenced by:  snwf  7737  uniwf  7747  rankpwi  7751  r1pw  7773  r1pwcl  7775  dfac12r  8028  wfgru  8693 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-r1 7692  df-rank 7693
 Copyright terms: Public domain W3C validator