MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Unicode version

Theorem pwxpndom2 8287
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cross product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 8286 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
2 reldom 6869 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 4730 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
4 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ^m  1o )  =  ( A  ^m  1o ) )
5 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
64, 5breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ^m  1o )  ~~  x  <->  ( A  ^m  1o )  ~~  A
) )
7 df1o2 6491 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
87oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  1o )  =  ( x  ^m  { (/)
} )
9 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
10 0ex 4150 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
119, 10mapsnen 6938 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  { (/) } ) 
~~  x
128, 11eqbrtri 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  ^m  1o )  ~~  x
136, 12vtoclg 2843 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  1o )  ~~  A )
14 ensym 6910 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
153, 13, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
16 map2xp 7031 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  2o )  ~~  ( A  X.  A
) )
17 ensym 6910 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  2o ) 
~~  ( A  X.  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
183, 16, 173syl 18 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
19 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  x : 1o --> A )
20 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : 1o --> A  ->  dom  x  =  1o )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  dom  x  =  1o )
2221adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  1o )
23 1onn 6637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
2423elexi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
2524sucid 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  suc  1o
26 df-2o 6480 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
2725, 26eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
28 1on 6486 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
2928onirri 4499 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
30 nelneq2 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  -.  1o  e.  1o )  ->  -.  2o  =  1o )
3127, 29, 30mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2o  =  1o
32 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  x : 2o --> A )
33 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x : 2o --> A  ->  dom  x  =  2o )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  dom  x  =  2o )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  2o )
3635eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  -> 
( dom  x  =  1o 
<->  2o  =  1o ) )
3731, 36mtbiri 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  -.  dom  x  =  1o )
3822, 37pm2.65i 165 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )
39 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  <->  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) ) )
4038, 39mtbir 290 . . . . . . 7  |-  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )
4140a1i 10 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) ) )
4241eq0rdv 3489 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )
43 cdaenun 7800 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  ( A  ^m  1o )  /\  ( A  X.  A
)  ~~  ( A  ^m  2o )  /\  (
( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
4415, 18, 42, 43syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
45 omex 7344 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
46 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  n )  e. 
_V
4745, 46iunex 5770 . . . . 5  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e.  _V
48 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  1o ) )
4948ssiun2s 3946 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5023, 49ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
51 2onn 6638 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
52 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  2o ) )
5352ssiun2s 3946 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5451, 53ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
5550, 54unssi 3350 . . . . 5  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
56 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
_V  ->  ( ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5747, 55, 56mp2 17 . . . 4  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
58 endomtr 6919 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  ( A  X.  A ) ) 
~~  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  /\  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5944, 57, 58sylancl 643 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
60 domtr 6914 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  /\  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
6160expcom 424 . . 3  |-  ( ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
6259, 61syl 15 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
631, 62mtod 168 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   -->wf 5251  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  pwxpndom  8288  pwcdandom  8289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-cnf 7363  df-card 7572  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator