MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Unicode version

Theorem pwxpndom2 8303
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cross product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 8302 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
2 reldom 6885 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 4746 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
4 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ^m  1o )  =  ( A  ^m  1o ) )
5 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
64, 5breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ^m  1o )  ~~  x  <->  ( A  ^m  1o )  ~~  A
) )
7 df1o2 6507 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
87oveq2i 5885 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  1o )  =  ( x  ^m  { (/)
} )
9 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
10 0ex 4166 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
119, 10mapsnen 6954 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  { (/) } ) 
~~  x
128, 11eqbrtri 4058 . . . . . . 7  |-  ( x  ^m  1o )  ~~  x
136, 12vtoclg 2856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  1o )  ~~  A )
14 ensym 6926 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
153, 13, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
16 map2xp 7047 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  2o )  ~~  ( A  X.  A
) )
17 ensym 6926 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  2o ) 
~~  ( A  X.  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
183, 16, 173syl 18 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
19 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  x : 1o --> A )
20 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : 1o --> A  ->  dom  x  =  1o )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  dom  x  =  1o )
2221adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  1o )
23 1onn 6653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
2423elexi 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
2524sucid 4487 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  suc  1o
26 df-2o 6496 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
2725, 26eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
28 1on 6502 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
2928onirri 4515 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
30 nelneq2 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  -.  1o  e.  1o )  ->  -.  2o  =  1o )
3127, 29, 30mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2o  =  1o
32 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  x : 2o --> A )
33 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x : 2o --> A  ->  dom  x  =  2o )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  dom  x  =  2o )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  2o )
3635eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  -> 
( dom  x  =  1o 
<->  2o  =  1o ) )
3731, 36mtbiri 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  -.  dom  x  =  1o )
3822, 37pm2.65i 165 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )
39 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  <->  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) ) )
4038, 39mtbir 290 . . . . . . 7  |-  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )
4140a1i 10 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) ) )
4241eq0rdv 3502 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )
43 cdaenun 7816 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  ( A  ^m  1o )  /\  ( A  X.  A
)  ~~  ( A  ^m  2o )  /\  (
( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
4415, 18, 42, 43syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
45 omex 7360 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
46 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  n )  e. 
_V
4745, 46iunex 5786 . . . . 5  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e.  _V
48 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  1o ) )
4948ssiun2s 3962 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5023, 49ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
51 2onn 6654 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
52 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  2o ) )
5352ssiun2s 3962 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5451, 53ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
5550, 54unssi 3363 . . . . 5  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
56 ssdomg 6923 . . . . 5  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
_V  ->  ( ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5747, 55, 56mp2 17 . . . 4  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
58 endomtr 6935 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  ( A  X.  A ) ) 
~~  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  /\  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5944, 57, 58sylancl 643 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
60 domtr 6930 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  /\  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
6160expcom 424 . . 3  |-  ( ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
6259, 61syl 15 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
631, 62mtod 168 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    +c ccda 7809
This theorem is referenced by:  pwxpndom  8304  pwcdandom  8305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-har 7288  df-cnf 7379  df-card 7588  df-cda 7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator