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Theorem pythagtrip 12887
Description: Parameterize the Pythagorean triples. If  A,  B, and  C are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, m, n    B, k, m, n    C, k, m, n

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 12798 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
213adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4 pythagtriplem19 12886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
543expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
6 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
7 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  A  e.  NN )
8 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  C  e.  NN )
9 nnsqcl 11173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
109nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
11103ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
12 nnsqcl 11173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
1312nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
14133ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14addcomd 9014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
1716biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
18173adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
19 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
20193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  A  e.  ZZ )
22 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
23223ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  B  e.  ZZ )
25 gcdcom 12699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
2621, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( A  gcd  B )  =  ( B  gcd  A ) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )
2827breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( 2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <->  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) ) )
2928notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <->  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) ) )
3029biimp3a 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )
31 pythagtriplem19 12886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
33323expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
345, 33orim12d 811 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
353, 34mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
36 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
37 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  e. 
_V
38 preq12bg 3791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V  /\  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) ) ) )
3936, 37, 38mpanr12 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  <-> 
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4039anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
42412rexbidv 2586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  (
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
43 andir 838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( ( A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
44 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
45 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
4644, 45orbi12i 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( ( A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
47 3ancoma 941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
4847orbi2i 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
4943, 46, 483bitr2i 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
5049rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
51502rexbii 2570 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
52 r19.43 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k  e.  NN  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
53522rexbii 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
54 r19.43 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5554rexbii 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
56 r19.43 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/ 
E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5755, 56bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5853, 57bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5951, 58bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
6042, 59syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
61603adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6261adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6335, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
6463ex 423 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
65 pythagtriplem2 12870 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
66653adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
6764, 66impbid 183 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   {cpr 3641   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ^cexp 11104    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759
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