Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtrip Structured version   Unicode version

Theorem pythagtrip 13200
 Description: Parameterize the Pythagorean triples. If , , and are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 13111 . . . . . . 7
213adant3 977 . . . . . 6
32adantr 452 . . . . 5
4 pythagtriplem19 13199 . . . . . . 7
543expia 1155 . . . . . 6
6 simp12 988 . . . . . . . 8
7 simp11 987 . . . . . . . 8
8 simp13 989 . . . . . . . 8
9 nnsqcl 11443 . . . . . . . . . . . . . 14
109nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13
11103ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12
12 nnsqcl 11443 . . . . . . . . . . . . . 14
1312nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13
14133ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14addcomd 9260 . . . . . . . . . . 11
1615eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10
1716biimpa 471 . . . . . . . . 9
18173adant3 977 . . . . . . . 8
19 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . . . 15
20193ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
22 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . . . 15
23223ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
25 gcdcom 13012 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
2827breq2d 4216 . . . . . . . . . 10
2928notbid 286 . . . . . . . . 9
3029biimp3a 1283 . . . . . . . 8
31 pythagtriplem19 13199 . . . . . . . 8
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1198 . . . . . . 7
33323expia 1155 . . . . . 6
345, 33orim12d 812 . . . . 5
353, 34mpd 15 . . . 4
36 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
37 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
38 preq12bg 3969 . . . . . . . . . . 11
3936, 37, 38mpanr12 667 . . . . . . . . . 10
4039anbi1d 686 . . . . . . . . 9
4140rexbidv 2718 . . . . . . . 8
42412rexbidv 2740 . . . . . . 7
43 andir 839 . . . . . . . . . . 11
44 df-3an 938 . . . . . . . . . . . 12
45 df-3an 938 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45orbi12i 508 . . . . . . . . . . 11
47 3ancoma 943 . . . . . . . . . . . 12
4847orbi2i 506 . . . . . . . . . . 11
4943, 46, 483bitr2i 265 . . . . . . . . . 10
5049rexbii 2722 . . . . . . . . 9
51502rexbii 2724 . . . . . . . 8
52 r19.43 2855 . . . . . . . . . 10
53522rexbii 2724 . . . . . . . . 9
54 r19.43 2855 . . . . . . . . . . 11
5554rexbii 2722 . . . . . . . . . 10
56 r19.43 2855 . . . . . . . . . 10
5755, 56bitri 241 . . . . . . . . 9
5853, 57bitri 241 . . . . . . . 8
5951, 58bitri 241 . . . . . . 7
6042, 59syl6bb 253 . . . . . 6
61603adant3 977 . . . . 5
6261adantr 452 . . . 4
6335, 62mpbird 224 . . 3
6463ex 424 . 2
65 pythagtriplem2 13183 . . 3
66653adant3 977 . 2
6764, 66impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cvv 2948  cpr 3807   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073  cc 8980   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cz 10274  cexp 11374   cdivides 12844   cgcd 12998 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072
 Copyright terms: Public domain W3C validator