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Theorem pythagtriplem1 13190
Description: Lemma for pythagtrip 13208. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Distinct variable groups:    A, n, m, k    B, n, m, k    C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 10008 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2 nncn 10008 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3 nncn 10008 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4 sqcl 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m ^ 2 )  e.  CC )
65sqcld 11521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
7 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8 sqcl 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
104, 8, 9syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )
11 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 12subcld 9411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
148adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
1514sqcld 11521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( n ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
16 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
1716ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
18 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  e.  CC )
197, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  e.  CC )
2019sqcld 11521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  e.  CC )
2113, 15, 20add32d 9288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
226, 12, 20subadd23d 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23 sqmul 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^ 2 ) ) )
247, 17, 23sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^
2 ) ) )
25 sq2 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
27 sqmul 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2827ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2926, 28oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( m  x.  n
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3024, 29eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3130oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
32 4cn 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  CC
33 2p2e4 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  +  2 )  =  4
3432, 7, 7, 33subaddrii 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  -  2 )  =  2
3534oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
36 subdir 9468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3732, 7, 36mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
3810, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3935, 38syl5reqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4140oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4222, 41eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4421, 43eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
45 binom2sub 11498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
464, 8, 45syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4746oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
48 binom2 11496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
494, 8, 48syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
5044, 47, 493eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51503adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )
5251oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
53 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
5443ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
5583ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
5654, 55subcld 9411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
5753, 56sqmuld 11535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
58173adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  x.  n )  e.  CC )
597, 58, 18sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( m  x.  n ) )  e.  CC )
6053, 59sqmuld 11535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
62 sqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
63623ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
6456sqcld 11521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6559sqcld 11521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6663, 64, 65adddid 9112 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6761, 66eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6854, 55addcld 9107 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
6953, 68sqmuld 11535 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7052, 67, 693eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
711, 2, 3, 70syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
73 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
7472, 73oveqan12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
75743adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
76 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77763ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
7875, 77eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 )  +  ( ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7971, 78syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
80793expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
8180rexlimdva 2830 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
8281rexlimivv 2835 1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706  (class class class)co 6081   CCcc 8988    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   NNcn 10000   2c2 10049   4c4 10051   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  13191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
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