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Theorem pythagtriplem1 12869
Description: Lemma for pythagtrip 12887. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Distinct variable groups:    A, n, m, k    B, n, m, k    C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4 sqcl 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m ^ 2 )  e.  CC )
65sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
7 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8 sqcl 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
104, 8, 9syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )
11 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 12subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
148adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
1514sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( n ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
16 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
1716ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
18 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  e.  CC )
197, 17, 18sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  e.  CC )
2019sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  e.  CC )
2113, 15, 20add32d 9034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
226, 12, 20subadd23d 9179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23 sqmul 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^ 2 ) ) )
247, 17, 23sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^
2 ) ) )
25 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2625a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
27 sqmul 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2827ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2926, 28oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( m  x.  n
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3024, 29eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3130oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
32 4cn 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  CC
33 2p2e4 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  +  2 )  =  4
3432, 7, 7, 33subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  -  2 )  =  2
3534oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
36 subdir 9214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3732, 7, 36mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
3810, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3935, 38syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4140oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4222, 41eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4421, 43eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
45 binom2sub 11220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
464, 8, 45syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4746oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
48 binom2 11218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
494, 8, 48syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
5044, 47, 493eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51503adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
53 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
5443ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
5583ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
5654, 55subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
5753, 56sqmuld 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
58173adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  x.  n )  e.  CC )
597, 58, 18sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( m  x.  n ) )  e.  CC )
6053, 59sqmuld 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
62 sqcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
63623ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
6456sqcld 11243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6559sqcld 11243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6663, 64, 65adddid 8859 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6761, 66eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6854, 55addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
6953, 68sqmuld 11257 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7052, 67, 693eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
711, 2, 3, 70syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
73 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
7472, 73oveqan12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
75743adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
76 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77763ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
7875, 77eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 )  +  ( ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7971, 78syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
80793expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
8180rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
8281rexlimivv 2672 1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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