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Theorem pythagtriplem12 12879
Description: Lemma for pythagtrip 12887. Calculate the square of  M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem11.1  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )

Proof of Theorem pythagtriplem12
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem11.1 . . 3  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
21oveq1i 5868 . 2  |-  ( M ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )
3 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
4 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
5 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
63, 4, 5syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
763adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
87sqrcld 11919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
9 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
103, 4, 9syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
11103adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
1211sqrcld 11919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
138, 12addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14133ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
15 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
16 2ne0 9829 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
17 sqdiv 11169 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
1815, 16, 17mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
1915sqvali 11183 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
2019oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) )
2118, 20syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2214, 21syl 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2383ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
24123ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
25 binom2 11218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) ) )
27 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
28 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
29 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3027, 28, 29syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
31303adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
32313ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
33273ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
34283ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
35 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
36353ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
37 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
38373ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
3933, 34, 36, 38addgt0d 9347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B
) )
40393ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  +  B
) )
41 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
42 ltle 8910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
4341, 42mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
4432, 40, 43sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
45 resqrth 11741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
4632, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
4746oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  =  ( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
48 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4927, 28, 48syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
50493adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
51503ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
52 pythagtriplem10 12873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
53523adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
54 ltle 8910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
5541, 54mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
5651, 53, 55sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
57 resqrth 11741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
5851, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
5947, 58oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  +  B
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
6073ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
618, 12mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
62 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
6315, 61, 62sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
64633ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
65113ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
6660, 64, 65add32d 9034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) ) )
6733ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
68673ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  CC )
69 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
70693ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
71703ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  CC )
72 adddi 8826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A
) ) )
7315, 72mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  +  A )
)  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A ) ) )
7468, 71, 73syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A
) ) )
7543ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
76753ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  CC )
7768, 76, 68ppncand 9197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
78682timesd 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  C )  =  ( C  +  C ) )
7977, 78eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
80 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
81803ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
8271sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8376sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8482, 83pncand 9158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
85 subsq 11210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
8668, 76, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
8781, 84, 863eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  x.  ( C  -  B ) )  =  ( A ^
2 ) )
8887fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
8932, 44, 51, 56sqrmuld 11907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
90 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
91903ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
92913ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  RR )
93 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
9493nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
95943ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  A )
96953ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  A )
9792, 96sqrsqd 11902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  A )
9888, 89, 973eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  =  A )
9998oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
10079, 99oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  C
)  +  ( 2  x.  A ) ) )
10174, 100eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
10266, 101eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  ( C  +  A )
) )
10326, 59, 1023eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 2  x.  ( C  +  A ) ) )
104103oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
105 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( C  +  A
)  e.  CC )
1063, 69, 105syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  A
)  e.  CC )
1071063adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  A )  e.  CC )
1081073ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  A )  e.  CC )
109 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( C  +  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  +  A
) )  e.  CC )
11015, 108, 109sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  e.  CC )
11115, 16pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
112 divdiv1 9471 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( C  +  A )
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
113111, 111, 112mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
114110, 113syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
115104, 114eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
2 )  /  2
) )
116 divcan3 9448 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  +  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
11715, 16, 116mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( ( C  +  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
118108, 117syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
119118oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
12022, 115, 1193eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
1212, 120syl5eq 2327 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  12882  pythagtriplem17  12884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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