Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem13 Structured version   Unicode version

Theorem pythagtriplem13 13193
 Description: Lemma for pythagtrip 13200. Show that (which will eventually be closely related to the in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem13

Proof of Theorem pythagtriplem13
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . 2
2 pythagtriplem9 13190 . . . . . 6
32nnzd 10366 . . . . 5
4 simp3r 986 . . . . . . 7
5 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13
6 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6nnaddcld 10038 . . . . . . . . . . . 12
87nnzd 10366 . . . . . . . . . . 11
983ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
10 nnz 10295 . . . . . . . . . . . 12
11103ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11
12113ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
13 2z 10304 . . . . . . . . . . 11
14 dvdsgcdb 13036 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10
169, 12, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9
1716biimpar 472 . . . . . . . 8
1817simprd 450 . . . . . . 7
194, 18mtand 641 . . . . . 6
20 pythagtriplem7 13188 . . . . . . 7
2120breq2d 4216 . . . . . 6
2219, 21mtbird 293 . . . . 5
23 pythagtriplem8 13189 . . . . . 6
2423nnzd 10366 . . . . 5
25 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . 13
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12
27 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . 13
28273ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28zsubcld 10372 . . . . . . . . . . 11
30293ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
31 dvdsgcdb 13036 . . . . . . . . . . 11
3213, 31mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10
3330, 12, 32syl2anc 643 . . . . . . . . 9
3433biimpar 472 . . . . . . . 8
3534simprd 450 . . . . . . 7
364, 35mtand 641 . . . . . 6
37 pythagtriplem6 13187 . . . . . . 7
3837breq2d 4216 . . . . . 6
3936, 38mtbird 293 . . . . 5
40 omoe 13178 . . . . 5
413, 22, 24, 39, 40syl22anc 1185 . . . 4
4229zred 10367 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
44 simp13 989 . . . . . . . . . 10
4544nnred 10007 . . . . . . . . 9
467nnred 10007 . . . . . . . . . 10
47463ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
48 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . 12
49483ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
50493ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
5145, 50ltsubrpd 10668 . . . . . . . . 9
52 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . 12
53523ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
54533ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
55 simp12 988 . . . . . . . . . . . 12
5655nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
5756, 45ltaddposd 9602 . . . . . . . . . 10
5854, 57mpbid 202 . . . . . . . . 9
5943, 45, 47, 51, 58lttrd 9223 . . . . . . . 8
60 pythagtriplem10 13186 . . . . . . . . . . 11
61603adant3 977 . . . . . . . . . 10
62 0re 9083 . . . . . . . . . . 11
63 ltle 9155 . . . . . . . . . . 11
6462, 63mpan 652 . . . . . . . . . 10
6543, 61, 64sylc 58 . . . . . . . . 9
66 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . 13
67663ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12
68673ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11
6945, 56, 68, 54addgt0d 9593 . . . . . . . . . 10
70 ltle 9155 . . . . . . . . . . 11
7162, 70mpan 652 . . . . . . . . . 10
7247, 69, 71sylc 58 . . . . . . . . 9
7343, 65, 47, 72sqrltd 12222 . . . . . . . 8
7459, 73mpbid 202 . . . . . . 7
75 nnsub 10030 . . . . . . . 8
7623, 2, 75syl2anc 643 . . . . . . 7
7774, 76mpbid 202 . . . . . 6
7877nnzd 10366 . . . . 5
79 2ne0 10075 . . . . . 6
80 dvdsval2 12847 . . . . . 6
8113, 79, 80mp3an12 1269 . . . . 5
8278, 81syl 16 . . . 4
8341, 82mpbid 202 . . 3
8477nngt0d 10035 . . . 4
8577nnred 10007 . . . . 5
86 halfpos2 10189 . . . . 5
8785, 86syl 16 . . . 4
8884, 87mpbid 202 . . 3
89 elnnz 10284 . . 3
9083, 88, 89sylanbrc 646 . 2
911, 90syl5eqel 2519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cz 10274  crp 10604  cexp 11374  csqr 12030   cdivides 12844   cgcd 12998 This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  13198 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072
 Copyright terms: Public domain W3C validator