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Theorem pythagtriplem14 13194
Description: Lemma for pythagtrip 13200. Calculate the square of  N. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )

Proof of Theorem pythagtriplem14
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . . 3  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
21oveq1i 6083 . 2  |-  ( N ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )
3 nncn 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
4 nncn 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
5 addcl 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
63, 4, 5syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
76sqrcld 12231 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC )
8 subcl 9297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
93, 4, 8syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
109sqrcld 12231 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  CC )
117, 10subcld 9403 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
12113adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
13123ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14 2cn 10062 . . . . 5  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10075 . . . . 5  |-  2  =/=  0
16 sqdiv 11439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1271 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
1813, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
1914sqvali 11453 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
2019oveq2i 6084 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) )
2113sqcld 11513 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  e.  CC )
2214, 15pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
23 divdiv1 9717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2422, 22, 23mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  e.  CC  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2521, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
26 simp12 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
27 simp13 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
2826, 27, 7syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
2926, 27, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
30 binom2sub 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) ) )
3128, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) ) )
32 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
33 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
34 readdcl 9065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3532, 33, 34syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
36353adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
37363ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
3837recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
39 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4032, 33, 39syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
41403adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
42413ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
4342recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
4473adant1 975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
45103adant1 975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
4644, 45mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
47 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
4814, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
49483ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
5038, 43, 49addsubd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  +  B )  -  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
5127nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  CC )
52 simp11 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  NN )
5352nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  CC )
54 subdi 9459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A
) ) )
5514, 54mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  -  A )
)  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A ) ) )
5651, 53, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A
) ) )
57 ppncan 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
58573anidm13 1242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
59 2times 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  CC  ->  (
2  x.  C )  =  ( C  +  C ) )
6059adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  C
)  =  ( C  +  C ) )
6158, 60eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
623, 4, 61syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
63623adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
64633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
6526nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  CC )
66 subsq 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
6751, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
68 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
69683ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
70 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
7170sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
72713ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
734sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
74733ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
7572, 74pncand 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
76753ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
7769, 76eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
7867, 77eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  x.  ( C  -  B ) )  =  ( A ^
2 ) )
7978fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
8032adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
8133adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
82 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
8382adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
84 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
8680, 81, 83, 85addgt0d 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B ) )
87 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  RR
88 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
8987, 88mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
9035, 86, 89sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B ) )
91903adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
92913ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
93 pythagtriplem10 13186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
94933adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
95 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
9687, 95mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
9742, 94, 96sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
9837, 92, 42, 97sqrmuld 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
9979, 98eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
100 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1011003ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
1021013ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  RR )
103 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
104103nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
1051043ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1061053ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  A )
107102, 106sqrsqd 12214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  A )
10899, 107eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  =  A )
109108oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
11064, 109oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  C
)  -  ( 2  x.  A ) ) )
11156, 110eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
112 resqrth 12053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
11337, 92, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
114113oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  =  ( ( C  +  B )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
115 resqrth 12053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
11642, 97, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
117114, 116oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  +  B
)  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
11850, 111, 1173eqtr4rd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  -  A ) ) )
11931, 118eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 2  x.  ( C  -  A ) ) )
120119oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 ) )
121 subcl 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( C  -  A
)  e.  CC )
1223, 70, 121syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  A
)  e.  CC )
1231223adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
1241233ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
125 divcan3 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  -  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
12614, 15, 125mp3an23 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  -  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
127124, 126syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
128120, 127eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( C  -  A ) )
129128oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )
13025, 129eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2  x.  2 ) )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
13120, 130syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
13218, 131eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
1332, 132syl5eq 2479 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  13195  pythagtriplem17  13197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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