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Theorem pythagtriplem16 13196
Description: Lemma for pythagtrip 13200. Show the relationship between  M,  N, and  B. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pythagtriplem15.1  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
pythagtriplem15.2  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem pythagtriplem16
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem15.1 . . . . 5  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
2 pythagtriplem15.2 . . . . 5  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
31, 2oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( M  x.  N )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )
4 nncn 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
5 nncn 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
6 addcl 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
74, 5, 6syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
87sqrcld 12231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC )
9 subcl 9297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
104, 5, 9syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
1110sqrcld 12231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  CC )
12 addcl 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
138, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14133adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
15143ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
16 subcl 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
178, 11, 16syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
18173adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
19183ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
20 2cn 10062 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
21 2ne0 10075 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
2220, 21pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
23 divmuldiv 9706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  /\  (
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2422, 22, 23mpanr12 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2515, 19, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2613, 17mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
27263adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
28273ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
29 divdiv1 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
3022, 22, 29mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
3128, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
3225, 31eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 ) )
33 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
34 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
35 readdcl 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3633, 34, 35syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
37363adant1 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
38373ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
3933adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
4034adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
41 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
43 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
4539, 40, 42, 44addgt0d 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B ) )
46 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
47 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
4846, 47mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
4936, 45, 48sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B ) )
50493adant1 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
51503ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
52 resqrth 12053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
5338, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
54 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
5533, 34, 54syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
56553adant1 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
57563ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
58 pythagtriplem10 13186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
59583adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
60 ltle 9155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
6146, 60mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
6257, 59, 61sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
63 resqrth 12053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6457, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6553, 64oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) ) )
6665oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B
) )  /  2
) )
67 simp12 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
68 simp13 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
6967, 68, 8syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
7067, 68, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
71 subsq 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7269, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7372oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 ) )
74 pnncan 9334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( B  +  B ) )
75743anidm23 1243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( B  +  B ) )
76 2times 10091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
7875, 77eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
794, 5, 78syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
80793adant1 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
81803ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
8281oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  B )  / 
2 ) )
83 divcan3 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8420, 21, 83mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8567, 5, 843syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8682, 85eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  B )
8766, 73, 863eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
2 )  =  B )
8887oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( B  /  2 ) )
8932, 88eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( B  /  2 ) )
903, 89syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M  x.  N )  =  ( B  / 
2 ) )
9190oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( M  x.  N ) )  =  ( 2  x.  ( B  /  2
) ) )
92 divcan2 9678 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9320, 21, 92mp3an23 1271 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
945, 93syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
95943ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
96953ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9791, 96eqtr2d 2468 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  13198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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