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Theorem pythagtriplem19 13199
Description: Lemma for pythagtrip 13200. Introduce  k and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n, k    B, m, n, k    C, m, n, k

Proof of Theorem pythagtriplem19
StepHypRef Expression
1 nnz 10295 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 10295 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
31, 2anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
4 nnne0 10024 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
54neneqd 2614 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  A  =  0 )
65intnanrd 884 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
8 gcdn0cl 13006 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
93, 7, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1093adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
11103ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  NN )
12 gcddvds 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
131, 2, 12syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
14133adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1514simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  ||  A )
1610nnzd 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
1710nnne0d 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0 )
1813ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
19 dvdsval2 12847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
2115, 20mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
22 nnre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
23223ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2410nnred 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  RR )
25 nngt0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
26253ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  A )
2710nngt0d 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B
) )
2823, 24, 26, 27divgt0d 9938 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )
29 elnnz 10284 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
3021, 28, 29sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
31303ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
3214simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  ||  B )
3323ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
34 dvdsval2 12847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3516, 17, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3632, 35mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
37 nnre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
38373ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
39 nngt0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
40393ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
4138, 24, 40, 27divgt0d 9938 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
42 elnnz 10284 . . . . . . 7  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4336, 41, 42sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
44433ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
45 dvdssq 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 ) ) )
4616, 18, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 ) ) )
47 dvdssq 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( B ^ 2 ) ) )
4816, 33, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( B ^ 2 ) ) )
4946, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  <->  ( (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) ) ) )
5014, 49mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) ) )
5110nnsqcld 11535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  NN )
5251nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
53 nnsqcl 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
54533ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
5554nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
56 nnsqcl 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
57563ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
5857nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
59 dvds2add 12873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  gcd  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
6052, 55, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
63 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
6462, 63breqtrd 4228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) )
65 nnz 10295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  ZZ )
66653ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
67 dvdssq 13052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) ) )
6816, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) ) )
6968adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C 
<->  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( C ^
2 ) ) )
7064, 69mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  C )
71 dvdsval2 12847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7216, 17, 66, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7372adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C 
<->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7470, 73mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ )
75 nnre 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
76753ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
77 nngt0 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
78773ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
7976, 24, 78, 27divgt0d 9938 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )
8079adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )
81 elnnz 10284 . . . . . . 7  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN )
83823adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
84 nncn 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
85843ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
8610nncnd 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
8785, 86, 17sqdivd 11528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
88 nncn 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
89883ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
9089, 86, 17sqdivd 11528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
9187, 90oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
92913ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
9354nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
9457nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9551nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  CC )
9651nnne0d 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  =/=  0 )
9793, 94, 95, 96divdird 9820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
98973ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) ) )
9992, 98eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) )
100 nncn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
1011003ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
102101, 86, 17sqdivd 11528 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
1031023ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( C  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
104 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) )
1051043ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
106103, 105eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( C  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
10799, 106eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )
108 gcddiv 13041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  /\  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ) )
10918, 33, 10, 14, 108syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
11086, 17dividd 9780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
111109, 110eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )
1121113ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 )
113 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )
114 pythagtriplem18 13198 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  /\  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )  /\  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  /\  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
11531, 44, 83, 107, 112, 113, 114syl312anc 1205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
11685, 86, 17divcan2d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  A )
117116eqcomd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
11889, 86, 17divcan2d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  B )
119118eqcomd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
120101, 86, 17divcan2d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  C )
121120eqcomd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
122117, 119, 1213jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
1231223ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
124 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) )
125124eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  A  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
1261253ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  A  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
127 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )
128127eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  ->  ( B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  B  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
1291283ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  B  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
130 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
131130eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  ->  ( C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  C  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
1321313ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  C  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
133126, 129, 1323anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  <->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
134123, 133syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
135134reximdv 2809 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
136135reximdv 2809 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
137115, 136mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
138 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) )
139138eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
140 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )
141140eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  <->  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
142 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
143142eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  <->  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
144139, 141, 1433anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
1451442rexbidv 2740 . . . 4  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
146145rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  NN  /\  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
14711, 137, 146syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
148 rexcom 2861 . . 3  |-  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
149 rexcom 2861 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
150149rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
151148, 150bitri 241 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
152147, 151sylib 189 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ^cexp 11374    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998
This theorem is referenced by:  pythagtrip  13200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072
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