MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Unicode version

Theorem q1peqb 19938
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q  |-  Q  =  (quot1p `  R )
q1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
q1pval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
q1pval.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
q1pval.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
q1pval.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
q1peqb.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
q1peqb  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( F Q G )  =  X ) )

Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2901 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  _V )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F 
.-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  ->  X  e.  _V )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  ->  X  e.  _V )
)
4 ovex 6039 . . . 4  |-  ( F Q G )  e. 
_V
5 eleq1 2441 . . . 4  |-  ( ( F Q G )  =  X  ->  (
( F Q G )  e.  _V  <->  X  e.  _V ) )
64, 5mpbii 203 . . 3  |-  ( ( F Q G )  =  X  ->  X  e.  _V )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F Q G )  =  X  ->  X  e.  _V )
)
8 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
9 q1pval.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
10 q1pval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( deg1  `  R )
11 q1pval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
12 q1pval.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  P )
13 eqid 2381 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
14 q1pval.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  P )
15 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
16 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  (Unic1p `  R )
189, 11, 17uc1pcl 19927 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
19183ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
209, 13, 17uc1pn0 19929 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  C  ->  G  =/=  ( 0g `  P
) )
21203ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  =/=  ( 0g `  P
) )
22 eqid 2381 . . . . . . . . . 10  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
2310, 22, 17uc1pldg 19932 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  C  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (Unit `  R ) )
24233ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (Unit `  R ) )
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 19922 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) )
26 df-reu 2650 . . . . . . 7  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G )  <->  E! q
( q  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
2725, 26sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  E! q ( q  e.  B  /\  ( D `
 ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  E! q ( q  e.  B  /\  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
29 eleq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( q  =  X  ->  (
q  e.  B  <->  X  e.  B ) )
30 oveq1 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  X  ->  (
q  .x.  G )  =  ( X  .x.  G ) )
3130oveq2d 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  X  ->  ( F  .-  ( q  .x.  G ) )  =  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )
3231fveq2d 5666 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  X  ->  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) ) )
3332breq1d 4157 . . . . . . 7  |-  ( q  =  X  ->  (
( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
3429, 33anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( q  =  X  ->  (
( q  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) ) )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C
)  /\  X  e.  _V )  /\  q  =  X )  ->  (
( q  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) ) )
368, 28, 35iota2d 5377 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) )  <->  ( iota q ( q  e.  B  /\  ( D `
 ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) )  =  X ) )
37 q1pval.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (quot1p `  R )
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 19937 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F Q G )  =  ( iota_ q  e.  B ( D `
 ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) )
3916, 19, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  =  ( iota_ q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
40 riotaiota 6485 . . . . . . . 8  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G )  ->  ( iota_ q  e.  B ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  =  ( iota q ( q  e.  B  /\  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )
4125, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( iota_ q  e.  B ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  =  ( iota q ( q  e.  B  /\  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )
4239, 41eqtrd 2413 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  =  ( iota q ( q  e.  B  /\  ( D `  ( F 
.-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )
4342adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  ( F Q G )  =  ( iota q ( q  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) ) ) )
4443eqeq1d 2389 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( F Q G )  =  X  <->  ( iota q
( q  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( q  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) ) )  =  X ) )
4536, 44bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G
) ) )  < 
( D `  G
) )  <->  ( F Q G )  =  X ) )
4645ex 424 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( X  e.  _V  ->  ( ( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( F Q G )  =  X ) ) )
473, 7, 46pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( X  e.  B  /\  ( D `  ( F  .-  ( X  .x.  G ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( F Q G )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2232    =/= wne 2544   E!wreu 2645   _Vcvv 2893   class class class wbr 4147   iotacio 5350   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   iota_crio 6472    < clt 9047   Basecbs 13390   .rcmulr 13451   0gc0g 13644   -gcsg 14609   Ringcrg 15581  Unitcui 15665  Poly1cpl1 16492  coe1cco1 16495   deg1 cdg1 19838  Unic1pcuc1p 19910  quot1pcq1p 19911
This theorem is referenced by:  q1pcl  19939  r1pdeglt  19942  dvdsq1p  19944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-ofr 6239  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-tpos 6409  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-ixp 6994  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-seq 11245  df-hash 11540  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-0g 13648  df-gsum 13649  df-mre 13732  df-mrc 13733  df-acs 13735  df-mnd 14611  df-mhm 14659  df-submnd 14660  df-grp 14733  df-minusg 14734  df-sbg 14735  df-mulg 14736  df-subg 14862  df-ghm 14925  df-cntz 15037  df-cmn 15335  df-abl 15336  df-mgp 15570  df-rng 15584  df-cring 15585  df-ur 15586  df-oppr 15649  df-dvdsr 15667  df-unit 15668  df-invr 15698  df-subrg 15787  df-lmod 15873  df-lss 15930  df-rlreg 16264  df-psr 16338  df-mvr 16339  df-mpl 16340  df-opsr 16346  df-psr1 16497  df-vr1 16498  df-ply1 16499  df-coe1 16502  df-cnfld 16621  df-mdeg 19839  df-deg1 19840  df-uc1p 19915  df-q1p 19916
  Copyright terms: Public domain W3C validator