MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Unicode version

Theorem qdensere 18279
Description:  QQ is dense in the standard topology on  RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 18270 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 qssre 10326 . . 3  |-  QQ  C_  RR
3 uniretop 18271 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
43clsss3 16796 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR )
51, 2, 4mp2an 653 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR
6 ioof 10741 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
7 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
8 ovelrn 5996 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( y  e. 
ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w ) ) )
96, 7, 8mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  y  =  ( z (,) w ) )
10 elioo3g 10685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  /\  (
z  <  x  /\  x  <  w ) ) )
1110simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* ) )
1211simp1d 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  e.  RR* )
1311simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  w  e.  RR* )
1411simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  e.  RR* )
15 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  <  x  /\  x  <  w ) )
1615simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  x )
1715simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  <  w )
1812, 14, 13, 16, 17xrlttrd 10490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  w )
19 qbtwnxr 10527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  z  < 
w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2012, 13, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2112ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  z  e.  RR* )
2213ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  w  e.  RR* )
23 qre 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR )
2524rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR* )
2621, 22, 253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  <  y  /\  y  <  w ) )
28 elioo3g 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
z  <  y  /\  y  <  w ) ) )
2926, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  ( z (,) w
) )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  QQ )
31 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3229, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3332ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z  < 
y  /\  y  <  w )  ->  ( (
z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( z  <  y  /\  y  <  w )  ->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
3520, 34mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3635a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  ( z (,) w )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
37 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z (,) w
) ) )
38 ineq1 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
y  i^i  QQ )  =  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ ) )
3938neeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
( y  i^i  QQ )  =/=  (/)  <->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
4036, 37, 393imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4140rexlimivw 2663 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4241rexlimivw 2663 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
439, 42sylbi 187 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4443rgen 2608 . . . 4  |-  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  QQ )  =/=  (/) )
45 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  =  ( topGen `  ran  (,) ) )
463a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) ) )
47 retopbas 18269 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  (,) 
e.  TopBases )
492a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  QQ  C_  RR )
50 id 19 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
5145, 46, 48, 49, 50elcls3 16820 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) ) )
5244, 51mpbiri 224 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
5352ssriv 3184 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
545, 53eqssi 3195 1  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867   QQcq 10316   (,)cioo 10656   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  qdensere2  18303  resscdrg  18775  ipasslem8  21415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-ioo 10660  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator