MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Unicode version

Theorem qdensere 18796
Description:  QQ is dense in the standard topology on  RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 18787 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 qssre 10576 . . 3  |-  QQ  C_  RR
3 uniretop 18788 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
43clsss3 17115 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR )
51, 2, 4mp2an 654 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR
6 ioof 10994 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
7 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
8 ovelrn 6214 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( y  e. 
ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  y  =  ( z (,) w ) )
10 elioo3g 10937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  /\  (
z  <  x  /\  x  <  w ) ) )
1110simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* ) )
1211simp1d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  e.  RR* )
1311simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  w  e.  RR* )
1411simp3d 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  e.  RR* )
15 eliooord 10962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  <  x  /\  x  <  w ) )
1615simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  x )
1715simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  <  w )
1812, 14, 13, 16, 17xrlttrd 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  w )
19 qbtwnxr 10778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  z  < 
w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2012, 13, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2112ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  z  e.  RR* )
2213ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  w  e.  RR* )
23 qre 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR )
2524rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR* )
2621, 22, 253jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  <  y  /\  y  <  w ) )
28 elioo3g 10937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
z  <  y  /\  y  <  w ) ) )
2926, 27, 28sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  ( z (,) w
) )
30 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  QQ )
31 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3229, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3332ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z  < 
y  /\  y  <  w )  ->  ( (
z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( z  <  y  /\  y  <  w )  ->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
3520, 34mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3635a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  ( z (,) w )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
37 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z (,) w
) ) )
38 ineq1 3527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
y  i^i  QQ )  =  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ ) )
3938neeq1d 2611 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
( y  i^i  QQ )  =/=  (/)  <->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
4036, 37, 393imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4140rexlimivw 2818 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4241rexlimivw 2818 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
439, 42sylbi 188 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4443rgen 2763 . . . 4  |-  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  QQ )  =/=  (/) )
45 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  =  ( topGen `  ran  (,) ) )
463a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) ) )
47 retopbas 18786 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  (,) 
e.  TopBases )
492a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  QQ  C_  RR )
50 id 20 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
5145, 46, 48, 49, 50elcls3 17139 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) ) )
5244, 51mpbiri 225 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
5352ssriv 3344 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
545, 53eqssi 3356 1  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   RR*cxr 9111    < clt 9112   QQcq 10566   (,)cioo 10908   topGenctg 13657   Topctop 16950   TopBasesctb 16954   clsccl 17074
This theorem is referenced by:  qdensere2  18820  resscdrg  19304  ipasslem8  22330  rrhcn  24372  rrhre  24379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-ioo 10912  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator