MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Unicode version

Theorem qdensere 18295
Description:  QQ is dense in the standard topology on  RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 18286 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 qssre 10342 . . 3  |-  QQ  C_  RR
3 uniretop 18287 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
43clsss3 16812 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR )
51, 2, 4mp2an 653 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR
6 ioof 10757 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
7 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
8 ovelrn 6012 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( y  e. 
ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w ) ) )
96, 7, 8mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  y  =  ( z (,) w ) )
10 elioo3g 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  /\  (
z  <  x  /\  x  <  w ) ) )
1110simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* ) )
1211simp1d 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  e.  RR* )
1311simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  w  e.  RR* )
1411simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  e.  RR* )
15 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  <  x  /\  x  <  w ) )
1615simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  x )
1715simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  <  w )
1812, 14, 13, 16, 17xrlttrd 10506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  w )
19 qbtwnxr 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  z  < 
w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2012, 13, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2112ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  z  e.  RR* )
2213ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  w  e.  RR* )
23 qre 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR )
2524rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR* )
2621, 22, 253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  <  y  /\  y  <  w ) )
28 elioo3g 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
z  <  y  /\  y  <  w ) ) )
2926, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  ( z (,) w
) )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  QQ )
31 inelcm 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3229, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3332ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z  < 
y  /\  y  <  w )  ->  ( (
z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( z  <  y  /\  y  <  w )  ->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
3520, 34mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3635a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  ( z (,) w )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
37 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z (,) w
) ) )
38 ineq1 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
y  i^i  QQ )  =  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ ) )
3938neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
( y  i^i  QQ )  =/=  (/)  <->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
4036, 37, 393imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4140rexlimivw 2676 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4241rexlimivw 2676 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
439, 42sylbi 187 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4443rgen 2621 . . . 4  |-  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  QQ )  =/=  (/) )
45 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  =  ( topGen `  ran  (,) ) )
463a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) ) )
47 retopbas 18285 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  (,) 
e.  TopBases )
492a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  QQ  C_  RR )
50 id 19 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
5145, 46, 48, 49, 50elcls3 16836 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) ) )
5244, 51mpbiri 224 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
5352ssriv 3197 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
545, 53eqssi 3208 1  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883   QQcq 10332   (,)cioo 10672   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  qdensere2  18319  resscdrg  18791  ipasslem8  21431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-ioo 10676  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator