MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextlt Unicode version

Theorem qextlt 10715
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qextlt
StepHypRef Expression
1 breq2 4151 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x  <  A  <->  x  <  B ) )
21ralrimivw 2727 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
3 xrlttri2 10661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
4 qextltlem 10714 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) ) )
5 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( x  < 
A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
65reximi 2750 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
74, 6syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
8 qextltlem 10714 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  (
x  <_  B  <->  x  <_  A ) ) ) )
9 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  B  <->  x  <  A ) )
10 bicom 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  B  <->  x  <  A )  <->  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
119, 10sylnib 296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
1211reximi 2750 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
138, 12syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1413ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
157, 14jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
163, 15sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
17 rexnal 2654 . . . 4  |-  ( E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
1816, 17syl6ib 218 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  A. x  e.  QQ  (
x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1918necon4ad 2605 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  QQ  ( x  <  A  <->  x  <  B )  ->  A  =  B ) )
202, 19impbid2 196 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2544   A.wral 2643   E.wrex 2644   class class class wbr 4147   RR*cxr 9046    < clt 9047    <_ cle 9048   QQcq 10500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-sup 7375  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-q 10501
  Copyright terms: Public domain W3C validator