MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextlt Structured version   Unicode version

Theorem qextlt 10781
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qextlt
StepHypRef Expression
1 breq2 4208 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x  <  A  <->  x  <  B ) )
21ralrimivw 2782 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
3 xrlttri2 10727 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
4 qextltlem 10780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) ) )
5 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( x  < 
A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
65reximi 2805 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
74, 6syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
8 qextltlem 10780 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  (
x  <_  B  <->  x  <_  A ) ) ) )
9 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  B  <->  x  <  A ) )
10 bicom 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  B  <->  x  <  A )  <->  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
119, 10sylnib 296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
1211reximi 2805 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
138, 12syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1413ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
157, 14jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
163, 15sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
17 rexnal 2708 . . . 4  |-  ( E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
1816, 17syl6ib 218 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  A. x  e.  QQ  (
x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1918necon4ad 2659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  QQ  ( x  <  A  <->  x  <  B )  ->  A  =  B ) )
202, 19impbid2 196 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   QQcq 10566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567
  Copyright terms: Public domain W3C validator