MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qfto Unicode version

Theorem qfto 5080
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4735 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 brun 4085 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  ( x R y  \/  x `' R y ) )
3 df-br 4040 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )
4 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4880 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76orbi2i 505 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x `' R y )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
82, 3, 73bitr3i 266 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
91, 8imbi12i 316 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1092albii 1557 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x R y  \/  y R x ) ) )
11 relxp 4810 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
12 ssrel 4792 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) )
14 r2al 2593 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x R y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1510, 13, 143bitr4i 268 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530    e. wcel 1696   A.wral 2556    u. cun 3163    C_ wss 3165   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  istsr2  14343  letsr  14365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713
  Copyright terms: Public domain W3C validator