Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qmulcl Structured version   Unicode version

Theorem qmulcl 10584
 Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10568 . 2
2 elq 10568 . 2
3 zmulcl 10316 . . . . . . . . . . 11
4 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . 11
53, 4anim12i 550 . . . . . . . . . 10
65an4s 800 . . . . . . . . 9
76adantr 452 . . . . . . . 8
8 oveq12 6082 . . . . . . . . 9
9 zcn 10279 . . . . . . . . . . . 12
10 zcn 10279 . . . . . . . . . . . 12
119, 10anim12i 550 . . . . . . . . . . 11
1211ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10
13 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . 13
14 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14jca 519 . . . . . . . . . . . 12
16 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . 13
17 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17jca 519 . . . . . . . . . . . 12
1915, 18anim12i 550 . . . . . . . . . . 11
2019ad2ant2l 727 . . . . . . . . . 10
21 divmuldiv 9706 . . . . . . . . . 10
2212, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . . 9
238, 22sylan9eqr 2489 . . . . . . . 8
24 rspceov 6108 . . . . . . . . . 10
25243expa 1153 . . . . . . . . 9
26 elq 10568 . . . . . . . . 9
2725, 26sylibr 204 . . . . . . . 8
287, 23, 27syl2anc 643 . . . . . . 7
2928an4s 800 . . . . . 6
3029exp43 596 . . . . 5
3130rexlimivv 2827 . . . 4
3231rexlimdvv 2828 . . 3
3332imp 419 . 2
341, 2, 33syl2anb 466 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982   cmul 8987   cdiv 9669  cn 9992  cz 10274  cq 10566 This theorem is referenced by:  qdivcl  10587  qexpcl  11389  qexpclz  11394  qsqcl  11445  pcaddlem  13249  qsubdrg  16743  qaa  20232  padicabv  21316  ostth2lem2  21320  ostth3  21324  rmxyadd  26975  mpaaeu  27323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-q 10567
 Copyright terms: Public domain W3C validator