Theorem qmuldeneqnum 13177

Description: Multiplying a rational by its denominator results in an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmuldeneqnum	|- ( A e. QQ -> ( A x. (denom ` A ) ) = (numer ` A ) )

Proof of Theorem qmuldeneqnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 13176	. . 3 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
2	1	oveq1d 6132	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A x. (denom ` A ) ) = ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) x. (denom ` A ) ) )
3		qnumcl 13170	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
4	3	zcnd 10414	. . 3 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. CC )
5		qdencl 13171	. . . 4 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
6	5	nncnd 10054	. . 3 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. CC )
7	5	nnne0d 10082	. . 3 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) =/= 0 )
8	4, 6, 7	divcan1d 9829	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) x. (denom ` A ) ) = (numer ` A ) )
9	2, 8	eqtrd 2475	1 |- ( A e. QQ -> ( A x. (denom ` A ) ) = (numer ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1654   e. wcel 1728   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   x. cmul 9033   / cdiv 9715   QQcq 10612  numercnumer 13163  denomcdenom 13164

This theorem is referenced by:  qnumgt0  13180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-fl 11240  df-mod 11289  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-dvds 12891  df-gcd 13045  df-numer 13165  df-denom 13166