MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnegcl Unicode version

Theorem qnegcl 10333
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10318 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 zcn 10029 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
4 nncn 9754 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
54adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
6 nnne0 9778 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
76adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
83, 5, 7divnegd 9549 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  =  (
-u x  /  y
) )
9 znegcl 10055 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
10 znq 10320 . . . . . 6  |-  ( (
-u x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  /  y )  e.  QQ )
119, 10sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u x  / 
y )  e.  QQ )
128, 11eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  / 
y )  e.  QQ )
13 negeq 9044 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  =  -u ( x  / 
y ) )
1413eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( -u A  e.  QQ  <->  -u ( x  /  y )  e.  QQ ) )
1512, 14syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  -u A  e.  QQ ) )
1615rexlimivv 2672 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  -u A  e.  QQ )
171, 16sylbi 187 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   QQcq 10316
This theorem is referenced by:  qsubcl  10335  pcadd2  12938  qsubdrg  16424  vitalilem1  18963  qaa  19703  rmxyneg  27005  mpaaeu  27355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-z 10025  df-q 10317
  Copyright terms: Public domain W3C validator