Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12492
 Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7347 . . . . . . 7
2 nnenom 11042 . . . . . . . 8
32ensymi 6911 . . . . . . 7
4 isnumi 7579 . . . . . . 7
51, 3, 4mp2an 653 . . . . . 6
6 znnen 12491 . . . . . . 7
7 ennum 7580 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6
95, 8mpbir 200 . . . . 5
10 xpnum 7584 . . . . 5
119, 5, 10mp2an 653 . . . 4
12 eqid 2283 . . . . . 6
13 ovex 5883 . . . . . 6
1412, 13fnmpt2i 6193 . . . . 5
1512rnmpt2 5954 . . . . . 6
16 elq 10318 . . . . . . 7
1716abbi2i 2394 . . . . . 6
1815, 17eqtr4i 2306 . . . . 5
19 df-fo 5261 . . . . 5
2014, 18, 19mpbir2an 886 . . . 4
21 fodomnum 7684 . . . 4
2211, 20, 21mp2 17 . . 3
23 nnex 9752 . . . . . 6
2423enref 6894 . . . . 5
25 xpen 7024 . . . . 5
266, 24, 25mp2an 653 . . . 4
27 xpnnen 12487 . . . 4
2826, 27entri 6915 . . 3
29 domentr 6920 . . 3
3022, 28, 29mp2an 653 . 2
31 qex 10328 . . 3
32 nnssq 10325 . . 3
33 ssdomg 6907 . . 3
3431, 32, 33mp2 17 . 2
35 sbth 6981 . 2
3630, 34, 35mp2an 653 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152   class class class wbr 4023  con0 4392  com 4656   cxp 4687   cdm 4689   crn 4690   wfn 5250  wfo 5253  (class class class)co 5858   cmpt2 5860   cen 6860   cdom 6861  ccrd 7568   cdiv 9423  cn 9746  cz 10024  cq 10316 This theorem is referenced by:  rpnnen  12505  resdomq  12522  re2ndc  18307  ovolq  18850  opnmblALT  18958  vitali  18968  mbfimaopnlem  19010  mbfaddlem  19015  irrapx1  26913 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317
 Copyright terms: Public domain W3C validator